2.1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得{2x-3=0,y+2=0,解得{x=32,y=-2,所以方程表示一个点(32,-2).答案C2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x≠±1)C.y=√1-x2D.x2+y2=9(x≠0)解析设P(x,y),因为kPA+kPB=-1,所以y-0x-(-1)+y-0x-1=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).答案B3.方程x-1=√1-(y-1)2表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析 方程x-1=√1-(y-1)2等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),∴表示的曲线是半个圆.故选D.答案D4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2√x的()1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2√x,但当点M的坐标满足方程y=-2√x时,则点M一定在曲线y2=4x上.答案B5.在直角坐标系中,方程|x|y=1的曲线是()解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=,a=.解析由题意知{2=ma2,a-2=0,解得a=2,m=12.答案1227.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x,y),由|PA|=2|PB|得√(x+2)2+y2=2√(x-1)2+y2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M(x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为.解析由题意知|3x+4y+1|√32+42=1,∴3x+4y+1=±5.2∴点M的轨迹方程为3x+4y+6=0和3x+4y-4=0.答案3x+4y+6=0和3x+4y-4=09.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=√2|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).连接PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=√2|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在Rt△PO1M中,|PM|2=|PO1|2−|MO1|2,在Rt△PO2N中,|PN|2=|PO2|2−|NO2|2,即得|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.3(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.能力提升1.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A.π3B.53πC.π3或5π3D.π3或π6解析将点P坐标代入曲线方程,得(cosα-2)2+sin2α=3,cosα=12.又因为0≤α<2π,所以α=π3或α=53π.答案C2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是()A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0解析“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C.即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.答案D3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|⃗MN|·|⃗MP|+⃗MN·⃗NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=-8xB.y2=8x4C.y2=-4xD.y2=4x解析设P(x,y),x>0,y>0,M(-2,0),N(2,0),|⃗MN|=4,则⃗MP=(x+2,y),⃗NP=(x-2,y),又由|⃗MN|·|⃗MP|+⃗MN·⃗NP=0,则4√(x+2)2+y2+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.答案A4.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边...
