高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式滚动训练(三)(第三讲～第四讲)一、选择题1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(a＋b)≥2＝4，∴＋≥.当且仅当·＝·，即a＝b＝8时取等号．2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B答案C解析依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案C解析当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k等于()A.B.C．9D．3答案D解析因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2，又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，当且仅当＝＝＝k时，等号成立，则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，得k2(x2＋y2＋z2)＝90，于是k＝3，故选D.15．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案C解析 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了两项，，少了一项.6．函数y＝5＋的最大值是()A．6B．2C．5D．2答案D解析函数的定义域为[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋×≤＝2，当且仅当＝，即x＝时，函数取得最大值2，故选D.7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为()A.B．2C．2D.答案C解析由柯西不等式可得(·1＋·1＋·1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)， 2x＋3y＋5z＝29，∴(·1＋·1＋·1)2≤120，∴μ＝＋＋≤2，∴μ＝＋＋的最大值为2.故选C.二、填空题8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________．答案9解析 a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤2. 2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9，∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为9.9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．答案220180解析由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则的最小值为________．答案解析 12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)·[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x2－2＋y＋2＋3z)2＝322，∴≥，当且仅当＝＝时，等号成立，即的最小值是.11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最小值为________．答案解析 (a＋2b＋3c)·＝[()2＋()2＋()2]·≥2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值为.三、解答题12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M.(1)求实数M的值；(2)若不等式＋≤M(其中a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3.(2)因为(＋·)2≤[12＋()2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，当且仅当＝·时，等号成立，即当x＝∈[－2，a]时，＋取得最大值，所以≤3.又a＞0，所以0＜a≤1.13．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－2|.(1)求不等式f(x)≥x－1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值．解(1)由已知可得或或解得0≤x≤2.故不等式的解集为[0,2]．(2)f(x)＝得最大值，∴m＝f(1)＝2，∴a＋b＋c＝2.又(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥(a＋b＋c)2，∴＋＋≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故＋＋的最小值是2.14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时...