4.4简单的三角恒等变换A组基础题组1.1-tan275°tan75°的值为()A.2√3B.2√33C.-2√3D.-2√33答案C原式=2tan150°=-2√3.2.若cos2θ=13,则sin4θ+cos4θ的值为()A.1318B.1118C.59D.1答案C cos2θ=13,∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-12×(1-19)=59.3.已知tanθ2=23,则1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ的值为()A.23B.-23C.32D.-32答案A tanθ2=23,∴1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin2θ2+2sinθ2cosθ22cos2θ2+2sinθ2cosθ2=tanθ2=23.4.函数f(x)=2cosxsin(x-π3)的最大值为()A.1-√32B.1+√32C.12D.21答案A f(x)=2cosx(12sinx-√32cosx)=12sin2x-√32(1+cos2x)=sin(2x-π3)-√32,∴f(x)max=1-√32.5.(2019温州中学月考)若cos(α+β)cos(α-β)=13,则cos2α-sin2β=()A.-23B.-13C.13D.23答案C cos(α+β)cos(α-β)=13,∴cos2αcos2β-sin2αsin2β=13,∴cos2α(1-sin2β)-(1-cos2α)sin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2β+cos2αsin2β=cos2α-sin2β=13.6.4sin80°-cos10°sin10°等于()A.√3B.-√3C.√2D.2√2-3答案B4sin80°-cos10°sin10°=4sin80°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10°=2sin30°cos10°-2cos30°sin10°-cos10°sin10°=-√3sin10°sin10°=-√3.故选B.7.(2018温州中学高三模拟)已知向量a=(sinα+cosα,1),b=(1,-2cosα),a·b=15,α∈(0,π2),则sinα=,cosα=.答案45;35解析由题意得sinα+cosα-2cosα=15,即sinα-cosα=15,结合sin2α+cos2α=1,可得sinα=45,cosα=35.28.(2018浙江重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:.图1图2答案sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ解析题图1中大矩形面积S=(cosα+cosβ)(sinα+sinβ)=sin(α+β)+sinαcosα+sinβcosβ,减去四个小直角三角形的面积得S1=S-sinαcosα-sinβcosβ=sin(α+β),题图2中阴影部分面积S2=sinαcosβ+cosαsinβ.两个图的阴影部分面积相等,即S1=S2,故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.9.(2016课标全国Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)=.答案-43解析 (θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin(θ+π4)=cos(π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos(θ+π4)=45,∴sin(π4-θ)=45,3∴tan(π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43,∴tan(θ-π4)=-tan(π4-θ)=-43.10.已知函数f(x)=√2cos(x-π12),x∈R.(1)求f(-π6)的值;(2)若cosθ=35,θ∈(3π2,2π),求f(2θ+π3).解析(1)f(-π6)=√2cos-π6-π12=√2cos(-π4)=√2cosπ4=1.(2)f(2θ+π3)=√2cos(2θ+π3-π12)=√2cos(2θ+π4)=cos2θ-sin2θ.因为cosθ=35,θ∈(3π2,2π),所以sinθ=-45,所以sin2θ=2sinθcosθ=-2425,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-725,所以f(2θ+π3)=cos2θ-sin2θ=-725-(-2425)=1725.11.已知0<α<π4,0<β<π4且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求α+β的值.4解析由4tanα2=1-tan2α2,得4tanα21-tan2α2=2tanα=1,得tanα=12.由3sinβ=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],进而得3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,∴2sin(α+β)4cos(α+β)=sinαcosα,∴tan(α+β)=2tanα=1,又 0<α<π4,0<β<π4,∴0<α+β<π2,∴α+β=π4.B组提升题组1.(2019台州中学月考)已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的一个定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,点B是直线l2上一个动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C,则△ABC面积的最小值为.答案h1h2解析如图,设∠ABD=α,则∠CAE=α,AB=h2sinα,AC=h1cosα,所以S△ABC=12·AB·AC=h1h2sin2α(0<α<π2).易得当2α=π2,即α=π4时,S△ABC取最小值,且最小值为h1h2.52.(1)已知tan(α+π4)=12,且-π2<α<0,求2sin2α+sin2αcos(α-π4)的值;(2)若π<α<3π2,化简1+sinα√1+cosα-√1-cosα+1-sinα√1+cosα+√1-cosα.解析(1)由tan(α+π4)=tanα+11-tanα=12,得tanα=-13.又-π2<α<0,所以sinα=-...
