课时跟踪检测（五）从平面向量到空间向量一、基本能力达标1．空间向量中，下列说法正确的是()A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：选D只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|C．如果两个向量平行，则这两向量相等D．在四边形ABCD中，AB＝DC解析：选B模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形．3．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD为()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：选B若AB＝DC，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又|AC|＝|BD|，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．4.如图，在正四面体ABCD中，〈AB，DA〉等于()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选D两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA的起点平移到A点处，求得夹角〈AB，DA〉＝120°，故选D.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量BC1垂直的向量有________．解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1；A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴A1D⊥BC1.答案：A1B1A1D6.如图，在棱长都相等的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈AA1，〉＝________；〈AB，C1D1〉＝________；〈BA，DD1〉＝________.解析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，因为AA1∥，且方向相同，所以〈AA1，〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，AB∥C1D1，但方向相反，所以〈AB，C1D1〉＝180°；因为AA1＝DD1，所以〈BA，DD1〉＝〈BA，AA1〉＝180°－∠A1AB＝120°.答案：0°180°120°7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与BB1相等的向量；(2)写出与BA相反的向量；(3)写出与BA平行的向量．解：(1)，DD1，AA1.(2)DC，D1C1，A1B1，AB.1(3)AB，CD，DC，D1C1，C1D1，A1B1，B1A1.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求〈PQ，EF〉，〈PQ，GH〉，〈GH，FE〉．解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以〈PQ，EF〉＝∠HPQ＝；〈PQ，GH〉＝∠FGH＝；〈GH，FE〉等于∠QEF的补角，即〈GH，FE〉＝.二、综合能力提升1．下列命题中，正确的个数为()①若a＝b，b＝c，则a＝c；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；③AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．0B．1C．2D．3解析：选C①正确， a＝b，∴a，b的模相等且方向相同． b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正确，a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.③不正确，由AB＝CD，知|AB|＝|CD|，且AB与CD同向．故选C.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A．BDB．BC1C．BD1D．A1B解析：选A BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故BD为平面ACC1A1的法向量．3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈EF，GH〉＝________.解析：连接DB，BC1，DC1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△BDC1为等边三角形． E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈EF，GH〉＝〈BD，BC1〉＝60°.答案：60°4.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量AB，BC，CA，PA，PB，PC中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥ABC.又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.由此知〈PA，AB〉，〈PA，BC〉，〈PA，CA〉，〈BC，AB〉，〈BC，PB〉都为90°，共有5对．答案：55.如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个2法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．证明：因为AB是圆O...
