高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业（九）生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

课时作业(九)生活中的优化问题举例A组基础巩固1．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()A．18B．10C．8D．1解析：设正方形的边长为x，则V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)，V′＝4(3x2－13x＋10)，令V′＝0，得x＝1，所以当x＝1时，容积V取最大值为18.答案：D2．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝.当θ＝，即R＝r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.答案：A3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6B．8C．10D．12解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．答案：B4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知，L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．解析：设底面两邻边长分别为xcm,2xcm，则高h＝＝.∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x＞0)．∴S′＝8x－＝(x3－27)．令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．答案：6346．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．解析：设底面边长为xdm，则高h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，则高h＝＝4(dm)．答案：417．一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，求导数，得V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：2m8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝.∴Q＝x3.∴总费用y＝·＝x2＋. y′＝－.令y′＝0，得x＝20.∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．B组能力提升9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油...