【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第2篇第10节导数的概念与计算课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1、4、9、10导数的几何意义2、3、6、7、11、12导数的综合5、8、13、14、15、16基础过关一、选择题1.(2014合肥模拟)若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于(D)(A)2(B)0(C)-2(D)-4解析:f′(x)=2f′(1)+2x,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(0)=2f′(1)+0=-4.2.(2014青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为(C)(A)2(B)-(C)4(D)-解析:因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.3.(2014长沙模拟)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:y′=x2+1,在点(1,)处的切线斜率为k=2,所以切线方程为y-=2(x-1),即y=2x-,与坐标轴的交点坐标为(0,-),(,0),所以三角形的面积为××-=.4.函数f(x)=sin2(2x+)的导数是(D)(A)f′(x)=2sin(2x+)(B)f′(x)=4sin(2x+)(C)f′(x)=sin(4x+)(D)f′(x)=2sin(4x+)解析:由于f(x)=sin2(2x+)==-cos(4x+),∴f′(x)=4×sin(4x+)=2sin(4x+),故选D.5.设曲线y=在点(,1)处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(A)(A)-1(B)(C)-2(D)2解析:∵y′==,∴y′=-1,由条件知=-1,∴a=-1.6.(2014东营一模)设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(C)解析:根据题意得g(x)=cosx,∴y=x2g(x)=x2cosx为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.二、填空题7.(2014衡阳模拟)若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.解析:设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4x⇒0=1,所以y0=2,所以切线方程为y-2=4(x-1)4x-y-2=0.⇒答案:4x-y-2=08.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2.答案:[2,+∞)9.(2014黄冈一模)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)·(x-4)(x-5),则f′(0)=.解析:f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.答案:-12010.已知函数f(x)=sinx+cosx,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则=.解析:f′(x)=cosx-sinx,由f′(x)=2f(x)得-cosx=3sinx,即tanx=-.====.答案:11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为.解析:f′(x)=2f′(1)+,令x=1得f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1,此时f(x)=-2x+lnx,f(1)=-2,故所求的切线方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0.答案:x+y+1=0三、解答题12.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=,∴斜率最小的切线过(2,),斜率k=-1,∴切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1,∴α∈[0,)∪[,π).能力提升13.(2014郑州模拟)已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是(B)(A)(-∞,-1)∪(-1,0)(B)(-∞,-1)∪(0,+∞)(C)(-1,0)∪(0,+∞)(D)a∈R且a≠0,a≠-1解析:f′(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.14.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.解析:如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),则y′==2,得x=,y=ln(2×)=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:15.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得(,5)为所求.答案:(,5)探究创新16.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.解:(1)f′(x)=a-,于是解得或因a,b∈Z,故f(x)=x+.(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-x0).令x=1得y=,切线与直线x=1交点为(1,).令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围成的三角形的面积为-1|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围成的三角形的面积为定值2.
