【成才之路】2016年春高中数学第1章数列2等差数列第4课时等差数列的综合应用同步练习北师大版必修5一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于()A．72B．54C．36D．18[答案]A[解析] a1＝18－a5，∴a4＋a5＝18.∴S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A.B.C.D.[答案]A[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴＝＝.3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18[答案]B[解析]由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B.4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]设等差数列公差为d， S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.5．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝()A.B.C．10D．12[答案]B[解析]本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋，且S8＝4S4，代入计算可得a1＝；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则1a10＝＋(10－1)×1＝.故本题正确答案为B.6．首项为18，公差为－3的等差数列，当前n项和Sn取最大值时，n等于()A．5或6B．6C．7D．6或7[答案]D[解析]an＝18＋(n－1)×(－3)＝21－3n，令解得6≤n≤7，故n等于6或7.二、填空题7．(2014·北京理，12)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．[答案]8[解析]本题考查了等差数列的性质与前n项和．由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S90公差d<0，是一个递减的等差数列，前n项和有最大值，a1<0，公差d>0，是一个递增的等差数列，前n项和有最小值．8．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.[答案]－1[解析]本题考查了对等差数列前n项和的理解和应用，同时还考查了等差数列的运算性质及考生灵活处理问题的能力． S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0又 a3＋a6＝a4＋a5∴S6－S2＝2(a4＋a5)＝0，∴a4＋a5＝0又 a4＝1，∴a5＝－1.三、解答题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，求数列的通项公式an.[解析] 数列的前n项和Sn＝5n－3，∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－1－3)＝4·5n－1，∴a1＝S1＝2不满足上式．∴数列的通项公式an＝.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．[解析](1)设{an}的首项为a1，公差为d，由已知有，将a1＝12－2d代入两个不等式，消去a1得⇔－a1＋d>0，可知a1>a2>…>a6>0>a7>…，所以S1，S2，…，S12中最大的是S6.[另法：S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，得a6＋a7>0，a7<0.所以a6>－a7>0.所以S6最大．]解法二：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋n(n－1)d＝n2＋n，二次函数y＝x2＋x的对称轴方程为x2＝－＝－，由于－0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为()A．5B．6C．7D．8[答案]B[解析]解法一： a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝－d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－d，由，得，∴50，S4＝S8，∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，∴前六项之和S6取最大值．2．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0[答案]C[解析]本题考查等差数列、指数函数的...
