2.2复数的乘法与除法[A组基础巩固]1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4iB．5＋4iC．3＋2iD．5＋2i解析：利用完全平方公式求解．(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.答案：A2．i是虚数单位，复数＝()A．1－iB．－1＋iC．1＋iD．－1－i解析：利用复数的乘法、除法法则求解．＝＝＝1＋i.答案：C3．复数z＝的共轭复数是()A．2＋iB．2－iC．－1＋iD．－1－i解析：先化简复数，再求共轭复数．∵z＝＝＝＝－1＋i，∴z＝－1－i.答案：D4．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于()A．－3＋4iB．－3－4iC．3＋4iD．3－4i解析：解法一由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i.解法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得故z＝3－4i.答案：D5．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋(2＋)i，对应点在第二象限．答案：B6．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t＝________.解析：∵z2＝t＋i，∴＝t－i.z1·＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.答案：17．计算：＝________(i为虚数单位)．解析：用复数除法的运算法则求解．＝＝＝1－2i.答案：1－2i8．若复数z＝，则|z＋3i|＝________.解析：z＝＝＝－1＋i，z＝－1－i，∴|z＋3i|＝|－1－i＋3i|＝|－1＋2i|＝.答案：9．计算：(1)；(2)；(3)＋.解析：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.10．已知＝，求实数a，b.解析：已知左边＝＝＝(a＋b)－abi.右边＝＝＝5－6i，所以(a＋b)－abi＝5－6i由两个复数相等的条件可得解得或[B组能力提升]1．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i解析：由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，∴z＝5＋i，∴＝5－i.答案：D2．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．解析：由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.答案：13．已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则z＝________.解析：∵(3－4i)z是纯虚数，可设(3－4i)z＝ti(t∈R且t≠0)，∴z＝，∴|z|＝＝5，∴|t|＝25，∴t＝±25，∴z＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，z＝±(－4－3i)＝∓(4＋3i)．答案：±(4＋3i)4．(2016·高考天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．解析：利用复数的乘法和复数相等的条件直接求出a和b的值即可．2因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.答案：25．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.6．设i为虚数单位，复数z和ω满足zω＋2iz－2iω＋1＝0.(1)若z和ω满足ω－z＝2i，求z和ω的值；(2)求证：如果|z|＝，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数．解析：(1)∵ω－z＝2i，∴z＝ω－2i.代入zω＋2iz－2iω＋1＝0，得(ω－2i)(ω＋2i)－2iω＋1＝0，∴ωω－4iω＋2iω＋5＝0.设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则上式可变为(x＋yi)(x－yi)－4i(x＋yi)＋2i(x－yi)＋5＝0.∴x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.∴∴或∴ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i.(2)证明：由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得z(ω＋2i)＝2iω－1，∴|z||ω＋2i|＝|2iω－1|.①设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则|ω＋2i|＝|x＋(y＋2)i|＝＝.|2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|＝＝.又|z|＝，∴①可化为3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1.∴x2＋y2－8y＝11.∴|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝＝＝3.∴|ω－4i|的值是常数，且等于3.34
