第二章圆锥曲线与方程阶段通关训练(二)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知抛物线y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()A.(1,0)B.C.D.(0,1)【解析】选C.因为过(1,4),所以a=2,标准方程为x2=y,焦点坐标为.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|有()A.最大值16B.最小值16C.最大值4D.最小值4【解析】选A.由椭圆的定义知a=4,|PF1|+|PF2|=2a=2×4=8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,所以|PF1|·|PF2|有最大值16.3.(2017·郑州高二检测)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,则|PF|=()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.根据抛物线的定义,点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3.【补偿训练】若动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)【解析】选B.由抛物线y2=8x,得到准线方程x+2=0,焦点坐标为(2,0),因为动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,1所以动圆必经过点(2,0).4.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为()A.28B.14-8C.14+8D.8【解析】选C.△F1PQ的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|,因为|PF1|-|PF2|=2a=4,|QF1|-|QF2|=2a=4,所以△F1PQ的周长为4+4+2×7=14+8.5.(2017·襄阳高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为()A.8B.2C.3D.【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是=2,解得b2=8a2,于是c==3a,所以e==3.【补偿训练】1.(2017·龙岩高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.3【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=±x,因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以=1,整理得:=3.所以双曲线的离心率为e===2.22.(2017·西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【解析】由题知抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为+=1,所以3k-3=9,所以k=4,所以离心率e==.答案:【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.6.设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则===,当y=-∈[-1,1]时,=5.所以=5+=6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为.3【解析】由已知得∠AF1F2=30°,故cos30°=,从而e=.答案:8.已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即,代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是.【解析】由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.答案:-y2=19.(2017·池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:①双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点;②在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.4其中真命题的序号为.【解析】①正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(±5,0);②不正确,根据椭圆的定义,当k>|AB|时是椭圆;③正确,方程2x2-5x+2=0的两根为或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.答案:①③10.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过...
