（江苏专用）高考数学一轮复习 考点34 数学归纳法必刷题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点34数学归纳法1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立．（1）求证：112211nnnnaaaaaa(nN)；（2）求证：11nnan(nN)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n时，2221112213aaa满足211aa成立.②假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaaaaaa成立下证：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立。因为211211111kkkkkaaaaa11221112211111kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa即：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立由①、②可知，112211nnnnaaaaaa(n*N)成立。（2）（ⅰ）当1n时，221221311a成立，当2n时，2322222172131112aaaaa成立，（ⅱ）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk要证1211kkak，1只需证12111kkkkkk只需证：121kkkk，只需证：12lnln1kkkk即证：12llnn10kkkk（3k）记2ln11lnhxxxxx2ln1112ln11lnlnxxxxhx21ln1ln12111xxxx当12x≥时，1111ln121ln221ln1ln10122xxe所以2ln11lnhxxxxx在1,上递增，又6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh所以，当3x时，30hxh恒成立。即：当3k时，30hkh成立。即：当3k时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.2．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列na是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，nN，1223aaaa11(1)nnnaanaa恒成立．2（1）如果11a，21a，31a成等差数列，求实数的值；（2）已知＝1．①求证：数列1na是等差数列；②已知数列na中，12aa．数列nb是公比为q的等比数列，满足111ba，221ba，31iba(iN)．求证：q是整数，且数列nb中的任意一项都是数列1na中的项．【答案】（1）1（2）①见解析②见解析【解析】（1）由题可得：当3n时，12233131aaaaaa两边同除以123aaa，可得：312112aaa因为11a，21a，31a成等差数列，所以312112aaa所以2222aa，解得：1（2）①由题可得：当3n时，1223aaaa111nnnaanaa…（Ⅰ）用1n代上式中的n，可得：1223aaaa1111nnnnnaaaanaa…（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅰ）得：11111nnnnaanaanaa上式两边同除以11nnaaa可得：1111nnnnaaa整理得：11111111nnnnaaaa3整理得：111111nnnanana（ⅰ）由（1）得，当3n时，11a，21a，31a成等差数列，结论正确.（ⅱ）假设nk时，结论正确。即：2311111,,,...kaaaa成等差数列，且公差为d下证1nk时，211311111,,,...,kkaaaaa成等差数列.即证111kkdaa又1111111111111kkkkkkaakakaakaka11111111kkddkaak.所以111kkdaa成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的3n，数列1na是等差数列.②由①得：数列1na是等差数列，公差为d所以2111daa，1111iidaa（iN）又111ba，221ba，31iba成等比数列，所以221111iaaa，即：21111111didaaa4整理得：113dai所以2112313aqidiaddi，所以q是整数数列...