【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第三章第19课利用导数研究函数的最（极）值要点导学要点导学各个击破利用导数研究函数的极值求下列函数的极值:(1)f(x)=2x3-6x2+1;(2)f(x)=lnxx.[思维引导]要求函数的极值,可以利用f'(x)=0,求解出极值点,再考察导函数在极值点附近的符号变化情况,确定函数的极值情况.[解答](1)由f'(x)=6x2-12x=0,得x=0或x=2.列表如下:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值为f(0)=1,f(x)的极小值为f(2)=-7.(2)由f'(x)=21-lnxx=0,得x=e.列表如下:x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘所以当x=e时,f(x)的极大值为f(e)=1e,f(x)无极小值.[精要点评]求解函数的极值,一般先求极值点,再考察导函数的符号,最后求函数的极值.(2014·望江模拟)已知函数f(x)=13x3+a2x2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-712,那么f(2)=.[答案]531[解析]f'(x)=x2+2a2x+a,由已知得'(-1)0,7(-1)-,12ff即221-20,1-0,4aaaab解得1,1-4ab或1-,2-1.ab当1,1-4ab时,f(x)没有极值点,所以1-,2-1.ab则f(x)=13x3+14x2-12x-1,故f(2)=53.(2014·池州模拟)已知函数f(x)=1-alnxx,a>0,求f(x)的极值.[解答]函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2-alnxx,令f'(x)=0,得x=ea.当x∈(0,ea)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(ea,+∞)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.所以f(x)有极大值,为f(ea)=e-a.[精要点评]运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根;(3)检查f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.利用导数研究函数的最值(2014·温州模拟)已知函数f(x)=lnx+21x,求f(x)在[1,+∞)上的最小值.[解答]f(x)的定义域为(0,+∞).因为f'(x)=1x-22(1)x=221(1)xxx>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以当x∈[1,+∞)时,f(x)min=f(1)=1.【题组强化·重点突破】1.(2014·北京东城区模拟)已知函数f(x)=lnx+1x,求f(x)的最小值.[解答]f(x)=lnx+1x(x>0),f'(x)=1x-21x=2-1xx.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.2所以,当x=1时,f(x)min=f(1)=1.2.(2014·阜阳模拟)已知函数f(x)=2433xx,x∈[0,2],求f(x)的值域.[解答]f'(x)=43·2221-(1)xx,令f'(x)=0,得x=1或x=-1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.而f(0)=0,f(1)=23,f(2)=815,所以当x∈[0,2]时,f(x)的值域是20,3.3.已知函数f(x)=(x-a)lnx,f(x)的导函数为f'(x)=lnx+1,求f(x)的最小值.[解答]函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-ax.由已知f'(x)=lnx+1,得a=0,则f(x)=xlnx.令f'(x)=0,得x=1e.列表如下:x10,e1e1,ef'(x)-0-f(x)↘极小值↗所以f(x)的最小值为f1e=-1e.4.(2014·廉江模拟)求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在[0,2]上的最大值和最小值.[解答]f'(x)=11x-12x(x>-1),令f'(x)=0,则11x-12x=0,化简得x2+x-2=0,解得x=1.3当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当10,f(1)>f(2),所以函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)=0,函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)=ln2-14.(2014·望江模拟)已知函数f(x)=ex-kx,x∈R.(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;(2)若k>0,且对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,试确定实数k的取值范围.[规范解答](1)由k=e,得f(x)=ex-ex,所以f'(x)=ex-e.由f'(x)>0,得x>1,故f(x)的单调增区间是(1,+∞),由f'(x)<0,得x<1,故f(x)的单调减区间是(-∞,1).(4分)(2)由f(x)>0,得ex-kx>0,因为x∈(0,+∞),所以k1时,g'(x)>0.所以当x=1时,g(x)取得极小值,则g(x)的最小值为g(1)=e,所以k
