11.3随机事件的概率核心考点·精准研析考点一互斥事件、对立事件的判断1.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是()A.恰有1个是奇数和全是奇数B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C.至少有1个是奇数和全是奇数D.至少有1个是偶数和全是奇数2.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是()A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立3.在下列六个事件中,随机事件的个数为()①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;③没有水分,种子发芽;④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫;⑤在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾;⑥同性电荷,相互排斥.A.2B.3C.4D.54.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡【解析】1.选A.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,共有三种情况:A={两个奇数},B={一个奇数一个偶数},C={两个偶数},且A,B,C两两互斥,所以A:是互斥事件,但不是对立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是对立事件.2.选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A、C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.3.选A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.4.选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件集合法①若A,B满足A∩B=,则A,B是互斥事件②若A,B满足,则A,B是对立事件考点二随机事件的频率与概率【典例】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)【解题导思】序号联想解题(1)由“超过8件”占55%联想到“不超过8件”占45%.(2)拆分为三个事件的和事件【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9分钟.(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.1.求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和.(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,16...
