６．４二次函数的应用学习目标导航１．能根据具体问题中的数量关系用相关的二次函数知识解决实际问题．２．能根据实际问题中的数量变化关系的图象特征,用相关的二次函数知识解决实际问题．教材知识详析要点１运用二次函数的性质解决有关最大(小)值的问题二次函数图象的顶点是最高(低)点,相应的函数有最大(小)值,有关最大(小)值的问题需要通过建立二次函数模型,用二次函数的最值来解决．例１如图６．４Ｇ１,有一道长为３０m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为１０m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃,设花圃的一边AB的长为xm,面积为ym２．图６．４Ｇ１(１)求y与x之间的函数关系式;(２)如果要围成面积为６３m２的花圃,那么AB的长是多少?(３)能围成面积比６３m２更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由．精析:解二次函数应用题时,必须考虑实际情况．本题有两处需特别注意:一是第(２)问解一元二次方程时,必须同时考虑BC＝３０－３x≤１０,否则会认为x＝３m和x＝７m都满足题意;二是第(３)问求最大值时,一定要考虑到在x的取值范围内求最值,而不是求整个二次函数的最大值,若得出“当x＝５时,y有最大值７５m２”的结论,是没有考虑到实际情况而产生的错误．解答:(１) AB＝xm,∴BC＝(３０－３x)m．∴y＝ABBC＝x(３０－３x)＝－３x２＋３０x．∴y＝－３x２＋３０x(０＜x＜１０)．(２)当y＝６３时,可得－３x２＋３０x＝６３,即x２－１０x＋２１＝０．解得x１＝３,x２＝７．当x＝３时,BC＝３０－３x＝２１(m)． ２１m＞１０m,∴x＝３不符合题意,舍去．当x＝７m时,BC＝３０－３x＝９(m)＜１０m．符合题意．∴如果要围成６３m２的花圃,AB的长应是７m．(３)y＝－３x２＋３０x＝－３(x－５)２＋７５． a＝－３＜０,∴图象开口向下．∴当x≥５时,y随x的增大而减小．另一方面,由题意,知０＜BC≤１０,即０＜３０－３x≤１０．解得２０３≤x＜１０．故当x＝２０３时,y有最大值,为y最大＝－３×２０３()２＋３０×２０３＝６６２３．∴能围成比６３m２更大的花圃,当AB的长取６２３m时,花圃的面积最大,是６６２３m２．要点２结合图形(象)求相关图形所表示的函数关系式根据题中的条件,把图形(象)中的数据信息转化为相关点的坐标,代入含有未知参数的关系式,再求出函数的关系式．例２如图６．４Ｇ２,足球场上守门员在点O处开出一高球,球从离地面１m的A处飞出(点A在y轴上),运动员乙在距点O为６m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约４m高,球落地后又一次弹起．据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半．(１)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(２)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取４３≈７)(３)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取２６≈５)精析:(３)中需求出第二个抛物线的解析式,而第二个抛物线和第一个抛物线的形状相同,开口方向一样,所以二次项的系数不变,而最高点是原来的一半,即顶点的纵坐标为２,所以解析式可设为y＝－１１２(x－m)２＋２．图６．４Ｇ２解答:(１)由题意,可设抛物线的解析式为y＝a(x－６)２＋４,当x＝０时,y＝１,则３６a＋４＝１,解得a＝－１１２．∴y＝－１１２(x－６)２＋４．(２)令y＝０,得x＝６＋４３≈１３．∴足球第一次落地点C距守门员１３m．(３)设第二个抛物线的解析式为y＝－１１２(x－m)２＋２,由(２)知,当x＝１３时,y＝０,再根据图象可知m＝１３＋２６≈１８,令y＝０,则xD＝１８＋２６≈２３．∴再向前跑１０米．当二次项的系数相同时,抛物线的形状和开口方向一样,反之成立．要点３运用二次函数的有关知识解决综合应用题二次函数的应用问题是以贴近现实生活中的热点话题为背景,运用函数知识来解决的一类实际问题．解这类题的关键是对问题的审读和理解,要熟练掌握用一个变量的代数式表示另一个变量,建立两个变量之间的等量关系．例３红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品,产量y１(万千克)与销售价格x(元/千克)(２≤x≤１０)满足函数关系式y１＝０．５x＋１１．经市场调查发现:该食品市场需求量y２(万千克)与销售价格x(元/千克)(２...
