4.1.1直角坐标系练习1．已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足BAAC�，则x的值为__________．2．椭圆221123xy的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为__________．3．已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长为16，顶点A的轨迹方程是________________．4．平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是__________．5．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinB－sinC＝12sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是__________．6．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程是__________．7．平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足OCmOAnOB�，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为__________．8．已知△ABC的三边a，b，c满足b2＋c2＝5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，则BE与CF的位置关系是__________．9．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．10．设有半径为3km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进．A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A，B两人的速度都一定，其比为3∶1，问两人在何处相遇？1参考答案1.答案：7解析： BA�＝(1，－1)，AC�＝(5，x－2)，又BAAC�，∴=0BAAC�，即5－(x－2)＝0.∴x＝7.2.答案：3±4解析：设F1为右焦点，则F1(3,0)，设P(x0，y0)，PF1的中点M(0，yM)，则0302x，得x0＝－3，把(－3，y0)代入椭圆方程，得03±2y∴3023±24My.当F1为左焦点时，F1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．3.答案：2212516xy(y≠0)解析： △ABC的周长为16，|BC|＝6，∴|AB|＋|AC|＝10.以BC所在的直线为x轴，过BC的中点作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，设A(x，y)(y≠0)，则2222(3)(3)10xyxy(y≠0)，化简得顶点A的轨迹方程是2212516xy(y≠0)．4.答案：32解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4,c＝2,2a＝3，∴32a.∴222974=44bca－－.2∴点P的轨迹方程为223=197244xyx.由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是32.5.答案：221927xy(x＜－3)解析：由题意知，B(－6,0)，C(6,0)，由sinB－sinC＝12sinA得b－c＝12a＝6，即|AC|－|AB|＝6.所以，点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的左支且y≠0，其方程为221927xy(x＜－3)．6.答案：22195xy(y≠0)解析： △ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4，∴A点的轨迹为椭圆除去与x轴相交的两点，且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴A点的轨迹方程为22195xy(y≠0)．7.答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4)解析：由题意知，A，B，C三点共线且C在线段AB上，点A，B所在的直线方程为2x＋5y－13＝0，且点C的轨迹为线段AB，所以，点C的轨迹方程为2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]．8.答案：垂直解析：如图，以△ABC的顶点A为原点O，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，,02cF.设C(x，y)，则,22xyE，∴2BEykcx，22CFykxc，由b2＋c2＝5a2，得|AC|2＋|AB|2＝5|BC|2，即x2＋y2＋c2＝5[(x－c)2＋y2]，整理得2y2＝(2x－c)(2c－x)，∴221.(2)(2)BECFykkxccx∴BE与CF互相垂直．9.解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴，则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30，可知|GB|＋|GC|＝23(|BD|＋|CE|)＝20，∴G的轨迹是椭圆，轨迹方程为22110064xy(x≠±10)．310.解：以村落中心为原点，A，B开始前进方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图．由题意可设A，B两人速度分别为3vkm/h，vkm...
