高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式例题与探究 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1.1.2基本不等式典题精讲【例1】若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_________.思路解析：已知条件中既有a,b的乘积又有它们的和，而要求的是ab的取值范围，因而需用基本不等式把a+b转化为乘积ab的不等式. ab=a+b+3,a,b为正数,∴ab≥ab2+3,∴(ab)2-ab2-3≥0.∴(ab-3)(ab+1)≥0.∴ab-3≥0.∴ab≥9.∴ab的取值范围是［9,+∞).答案：［9,+∞)绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的范围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.【变式训练】若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是__________.思路解析：利用基本不等式的变形ab≤(2ba)2,使已知条件转化为不等式求解.方法一： ab≤(2ba)2,∴ab=a+b+3≤(2ba)2.∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0,∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0,∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）.方法二： ab=a+b+3,∴b=13aa>0,∴a>1.∴a+b=a+14113aaaaa=a+1+14a,=(a-1)+14a+2≥14)1(2aa+2=6.当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号.答案：［6+∞)【例2】若x,y是正数，则（x+y21）2+（y+x21）2的最小值是（）A.3B.27C.4D.291思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y时可取到最小值.方法一： 将命题x,y的位置对调之后，命题的形式不变，∴取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+x21)2≥2)212(2xx=4,取“=”的条件为x=y=22.方法二：(x+y21)2+(y+x21)2=(x2+241x)+(y2+241y)+(yx+xy)≥1+1+2=4,当x=y=22时，式子取得最小值4.方法三： x>0,y>0,∴(x+y21)2≥yxyx2)22(2.(y+x21)2≥xyxy2)22(2.∴(x+y21)2+(y+x21)2≥xyyx22≥4.当且仅当y=x21且x=y21,且xyyx22,即x=y=22时取“=”号.答案：C绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=x21且x=y212且xyyx22”来限制“=”号.【变式训练】已知a,b∈R+，a+b=1，求证：(a+a1)(b+b1)≥425.思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab+ab1+ab+ba,但其中ab+ba能用基本不等式，而ab+ab1不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+x1(x=ab)，求最小值，这要求求ab+ab1的最小值用单调性法，而求ab+ba的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b的值.证明：设y=ab+ab1，则(a+a1)(b+b1)=ab+ab1+ab+ba≥y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y≥417即可.设ab=x,x∈(0,41］,则y=x+x1，且y=x+x1在（0,41］上为减函数.∴当x=41时，ymin=417，此时a=b=21,∴ab+ab1≥417,∴(a+a1)(b+b1)≥425.【例3】如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a,b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=abk.又由于受箱体材料多少的限制，a,b之间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,当y=abk最小时，求a,b的值.解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=abk(k>0)，其中k为比例系数.又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，3∴b=aa230（由a>0,b>0,可得a<30）.∴y=abk=aaak2302.令t=a+2,则a=t-2,从而tttaaa22)2()2(30230=ttt64342≤34-34)64(t...