【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章2第1课时实际问题中导数的意义课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示()A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C．t＝t0时的位移D．t＝t0时的功率[答案]D[解析]W′(t)表示t时刻的功率．2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，(s的单位是s，t的单位是s)，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[答案]C[解析]s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.3．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81[答案]B[解析]瞬时速度v＝lim＝lim＝lim3(6＋Δt)＝18.4．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()[答案]D[解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；1选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评]函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．5．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为()m/s2A．t＋3t0B．3t＋3C．3t＋3t0D．t＋3[答案]B[解析] v′(t)＝3t2＋3，则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3t＋3(m/s2)．即t＝t0s时轿车的加速度为(3t＋3)m/s2.[点评]运动方程s＝s(t)的导数表示的是t时刻时的瞬时速度，速度方程v＝v(t)的导数表示的是t时刻时的加速度．二、填空题6．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________．[答案]服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加．7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案]0.08[解析]因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．因为p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，所以p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．[答案][解析]设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝.∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋.令S表′＝x－＝0∴x3＝4V，即x＝，又当x∈(0，)时，S表′<0；当x∈(，V)时，S表′>0∴当x＝时，表面积最小．三、解答题9．甲、乙二人跑步的路程与时间的关系及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时谁跑得较快？[分析]用路程与时间的关系以及导数的几何意义来比较甲、乙二人谁跑得快．2[解析]从图①可以看出在相同的时刻t，乙跑的路程要比甲跑的路程远，所以乙跑得快．从图②可以看出甲是匀速跑的，而乙快到终点时，变化率越来越大，即速度越来越快，所以快到终点时乙跑得较快．10．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝x2＋60x＋2050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量；(3)当日产量为75件时的边际成本．[解析](1)当x＝75时，C(75)＝×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴≈106.08(元/件)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7956.25元，106.08元/件．(2)当日产量由75件提高到90件时，...
