高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4-1.4.2 存在量词练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

1.4.1全称量词1.4.2存在量词A级基础巩固一、选择题1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析：D选项是特称命题．答案：D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使＞2解析：A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．答案：B3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1D．∃x0∈R，tanx0＝2答案：B4．下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝B．∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1⇒f(x)C．∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0D．∀x∈(x，π)，sinx＞cosx解析：A.sinx＋cosx＝sin≤.所以排除A.B．令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＞0对于x∈(0，＋∞)恒成立．所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝0恒成立．故B正确．C．x∈(－∞，0)，＞1，所以2x0＞3x0，故C错．D．x＝时，sinx＝cosx．故D错．答案：C5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1B．a≤1C．－1＜a＜1D．－1＜a≤1答案：A二、填空题6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，1所以1≤y≤e，若p为真，则a≥(ex)max＝e.答案：[e，＋∞)7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案：②③8．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．解析：依题意有：0＜a2－1＜1⇔⇔⇔－＜a＜－1或1＜a＜.答案：(－，－1)∪(1，)三、解答题9．若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．解：因为cos2x＋2sinx＋a＝0，所以a＝2sin2x－1－2sinx＝2－1，所以a＝2－.又－1≤sinx≤1，所以－≤2－≤3.故当－≤a≤3时，方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，所以，所求实数a的取值范围是10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．解：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1，2]时恒成立，所以a≤1.∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0.所以a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p、q都为真，所以所以a≤－2或a＝1.B级能力提升1．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A2．若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)23．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．3