第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④解析除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案C2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确解析“≤”的反面是“>”,故(1)错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”,故(2)正确.答案D3.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()A.至少有一个是正数B.都是正数C.一个是正数,一个是负数D.都是负数解析假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.答案A4.用反证法证明命题“若a+b+c≥0,abc≤0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为()A.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零B.a,b,c三个实数中最多有两个小于零C.a,b,c三个实数中至少有两个小于零D.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零解析“最多有一个”的否定是“至少有两个”.故选C.答案C15.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>0”反设,所得命题为“”.解析“至少存在一个”反面是“不存在”.答案函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式为.解析“p且q”的否定形式为“p或q”.答案x≠0或y≠07.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为.①而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=.②①与②矛盾,故假设不成立,故p为偶数.解析由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.答案a1-1,a2-2,…,a7-7奇数08.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.9.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.证明假设ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN∩平面DCEF=EN.2由已知两正方形不共面,得AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立,所以ME与BN不共面,即直线ME与BN是两条异面直线.能力提升1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”.答案B2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设和两类.解析反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案∠BAP=∠CAP∠BAP>∠CAP3.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).解析若a=12,...
