3．1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积概念和性质.想一想：1.(1)a2＝a·a＝__________，|a|＝________．(2)|a|＝6，cos〈a，b〉＝－，则a在b上的射影是______________．2．(1)〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈－a，b〉、〈a，－b〉的关系呢？(2)类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？基础梳理λ(a·b)b·aa·b＋a·c(2)|a|·|b|－|a|·|b||a|2(3)[0，π](4)(5)≤想一想：1.(1)|a|2(2)－32．(1)〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉．(2)数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④12．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2BA·ACB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB3．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°自测自评1．解析：根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.答案：D2．解析：2BA·AC＝－a2，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；2EF·CB＝－a2，故D错，只有C正确．答案：C3．C1．下列式子正确的是()A．a·|a|＝a2B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b)c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|1．D2．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．解析：a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.答案：A3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.2其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．0个3．解析：根据数量积的定义知：①②正确，AD1与A1B的夹角为120°，∴③不正确，故选B.答案：B4．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．4.5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A.B．97C.D．615．解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.答案：C6．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6B．6C．12D．1446．解析：因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＋2PA·AB＋2PA·BC＝36＋36＋36＋2×6×6×cos60°＋2×6×6×cos90°＋2×6×6×cos90°＝144，所以|PC|＝12.答案：C7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．7．解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)×3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－.答案：－8．在△ABC中，有下列命题：①AB－AC＝BC；②AB＋BC＋CA＝0；③(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．8．解析：①错，AB－AC＝CB；②正确；③正确，|AB|＝|AC|；④错，△ABC不一定是锐角三角形．答案：②③3其中正确的是________(填序号)．9．如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.9．证明：设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.∵BD＝CD－CB＝b－a，∴BD·CC1＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0，∴CC1⊥BD，即CC1⊥BD.10．如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．10．解析：(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.4因为BB1⊥平面ABC，所以BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.又△ABC为正三角形，所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.因为AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.(2)结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝BB12－1.又|AB1|＝＝＝|BC1|，所以cos〈AB1，BC1〉＝＝，所以|BB1|＝2，即侧棱长为2.5
