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高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题_第1页
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3.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积概念和性质.想一想:1.(1)a2=a·a=__________,|a|=________.(2)|a|=6,cos〈a,b〉=-,则a在b上的射影是______________.2.(1)〈a,b〉与〈b,a〉的关系是怎样的?〈a,b〉与〈-a,b〉、〈a,-b〉的关系呢?(2)类比平面向量,你能说出a·b的几何意义吗?基础梳理λ(a·b)b·aa·b+a·c(2)|a|·|b|-|a|·|b||a|2(3)[0,π](4)(5)≤想一想:1.(1)|a|2(2)-32.(1)〈a,b〉=〈b,a〉,〈a,-b〉=〈-a,b〉=π-〈a,b〉.(2)数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积.1.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,则:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②④12.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BA·ACB.2AD·DBC.2FG·ACD.2EF·CB3.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°自测自评1.解析:根据数量积的定义及性质可知:①③错误,②④正确.故选D.答案:D2.解析:2BA·AC=-a2,故A错;2AD·DB=-a2,故B错;2EF·CB=-a2,故D错,只有C正确.答案:C3.C1.下列式子正确的是()A.a·|a|=a2B.(a·b)2=a2·b2C.(a·b)c=a(b·c)D.|a·b|≤|a||b|1.D2.若a、b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.解析:a·b=|a||b|⇒cos〈a,b〉=1⇒〈a,b〉=0°,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,a·b=-|a||b|.答案:A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(AA1+AD+AB)2=3AB2;②A1C·(A1B1-A1A)=0;③AD1与A1B的夹角为60°.2其中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.0个3.解析:根据数量积的定义知:①②正确,AD1与A1B的夹角为120°,∴③不正确,故选B.答案:B4.已知a,b是空间两向量,若|a|=3,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为________.4.5.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,则|2a-3b|等于()A.B.97C.D.615.解析:|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12×2×3×cos60°+9×32=61,∴|2a-3b|=.答案:C6.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6B.6C.12D.1446.解析:因为PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB·BC+2PA·AB+2PA·BC=36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos90°+2×6×6×cos90°=144,所以|PC|=12.答案:C7.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.7.解析:由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,所以18+(λ+1)×3×4cos135°+16λ=0,即4λ+6=0,所以λ=-.答案:-8.在△ABC中,有下列命题:①AB-AC=BC;②AB+BC+CA=0;③(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等腰三角形;④若AC·AB>0,则△ABC为锐角三角形.8.解析:①错,AB-AC=CB;②正确;③正确,|AB|=|AC|;④错,△ABC不一定是锐角三角形.答案:②③3其中正确的是________(填序号).9.如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:CC1⊥BD.9.证明:设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|.∵BD=CD-CB=b-a,∴BD·CC1=(b-a)·c=b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0,∴CC1⊥BD,即CC1⊥BD.10.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.10.解析:(1)证明:AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.4因为BB1⊥平面ABC,所以BB1·AB=0,BB1·BC=0.又△ABC为正三角形,所以〈AB,BC〉=π-〈BA,BC〉=π-=.因为AB1·BC1=(AB+BB1)·(BB1+BC)=AB·BB1+AB·BC+BB12+BB1·BC=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB12=-1+1=0,所以AB1⊥BC1.(2)结合(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB12=BB12-1.又|AB1|===|BC1|,所以cos〈AB1,BC1〉==,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.5

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