考点规范练48抛物线基础巩固组1.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1⇒y0=-1516.2.如果点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=112x2或y=-136x2答案D解析分两类a>0,a<0,可得所求方程为y=112x2或y=-136x2.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值一定等于()A.-4B.4C.p2D.-p2答案A解析①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=p2,则x1x2=p24,y1y2=-p2,则y1y2x1x2=-4;②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB:y=k(x-p2),联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,则x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2=p4,又 y1y2<0,∴y1y2=-p2.故y1y2x1x2=-4.4.(2018浙江嘉兴地区联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线C所截弦长为4√5,则抛物线C的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案C1解析由{x2=2py,y=2x,得{x=0,y=0或{x=4p,y=8p,即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),则√4p2+8p2=4√5,得p=1(舍去负值).故抛物线C的方程为x2=2y.5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=√2|AF|,则△AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32答案B解析 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,∴K(-2,0).设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB垂足为B,则B(-2,y0). |AK|=√2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,±4).故△AFK的面积为12|KF|·|y0|=12×4×4=8.6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案2√3解析y2=2px的准线为x=-p2.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A(-p2,p√3),B(-p2,-p√3).又点A,B在双曲线y2-x2=1上,从而p23−p24=1,所以p=2√3.7.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为.答案x=-22解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2−y23a2=1,抛物线的准线为x=-2a,联立{x2a2-y23a2=1,y2=8ax⇒x=3a,即点P的横坐标为3a.而由{|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a⇒|PF2|=6-a,∴|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,∴抛物线的准线方程为x=-2.8.若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则实数m的值是.答案32解析由于A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,故可设直线AB方程为y=-x+n,代入抛物线方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-12得n=1,设A,B中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=-x0+1=54,点(x0,y0)在直线y=x+m上,代入得m=32.能力提升组9.(2018浙江台州二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且△OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析不妨设点A(x0,y0)在第一象限,由题意可知{x0+p2=2x0,S△OAF=12·p2·y0=1,即{x0=p2,y0=4p,∴A(p2,4p).又 点A在抛物线y2=2px上,∴16p2=2p×p2,即p4=16.又 p>0,∴p=2.故选B.10.过点(0,-2)的直线交抛物线y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y12−y22=1,则△OAB(O为坐标原点)的面积为()A.12B.14C.18D.116答案D解析由题意得,y12=16x1,y22=16x2,3∴y12−y22=16(x1-x2)⇒y1-y2x1-x2=16y1+y2,∴AB:y=16y1+y2x-2,令y=0,∴x=y1+y28,∴S=12|y1+y28|·|y1-y2|=116∨y12−y22|=116,故选D.11.(2018浙江嘉兴一模)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析设点B的坐标为(x1,y1),因为y=12x2,所以y'=x.所以y'|x=x1=x1=1,则B(1,12).因为F(0,12),所以直线l的方程为y=12.故|AF|=|BF|=1.12.(2018浙江嘉兴调研)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若⃗OA·⃗OB=-12,则抛物线C的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x答案C解析由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+p2,联立{y2=2px,x=my+p2,消去x得y2-2pmy-p2=0,显然...
