第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=π,则cosa3=()A.√32B.√22C.-12D.12解析因为{an}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=π3,故cosa3=cosπ3=12.答案D2.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于()A.14B.21C.28D.35解析 a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.答案C3.已知数列{ann}是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于()A.12B.24C.16D.32解析令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列{bn}的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b3+(9-3)d=43,所以a9=9b9=12,故选A.答案A4.已知等差数列{an}满足am-1+am+1-am2-1=0,且m>1,则a1+a2m-1=()A.10B.9C.3D.2解析由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am-am2-1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选D.答案D5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为()A.96石B.78石C.60石D.42石解析依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,解得a2=60,d=-18,所以a1=a2-d=60+18=78,故选B.答案B6.在等差数列{an}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10=.解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.答案37.已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是.答案48.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则a8=,2a9-a10=.解析 a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.答案24249.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为.解析设等差数列的公差为d,则d=am-anm-n=n-mm-n=-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.答案010.在等差数列{an}中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.解(方法一)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,解{a2·a5=52,a2+a5=17,得{a2=4,a5=13或{a2=13,a5=4.∴d=a5-a25-2=13-43=3或d=a5-a25-2=4-133=-3.(方法二)(1)直接化成a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.(2)直接化成a1和d的方程如下:{(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34,(a1+d)·(a1+4d)=52,解得{a1=1,d=3或{a1=16,d=-3.∴d=3或-3.能力提升练1.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=0解析根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,∴101a51=0,∴a51=0,又因为a3+a99=2a51,∴a3+a99=0.答案CD2.已知等差数列{an},a2=2,a4=8,若abn=3n-1,则b2017=()A.2016B.2017C.2018D.0解析由a2=2,a4=8,得数列{an}的公差d=8-22=3,所以an=2+(n-2)×3=3n-4,所以an+1=3n-1.又数列{an}的公差不为0,所以数列{an}为单调数列,所以结合abn=3n-1,可得bn=n+1,故b2017=2018.故选C.答案C3.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0解析设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,因此bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1. y=2x是单调增函数,∴a1an>a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>0,∴a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.答案D4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析不妨设角A=120°,c
