【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲空间向量及其运算练习理基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、填空题1.空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是________.解析由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD.答案平行2.有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底.其中所有正确命题的序号是________.解析对①易知a，b与空间任何向量共面，所以a，b共线，①正确；②显然正确；对③可结合平行六面体说明其正确性.答案①②③3.(2015·济南月考)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点________(填序号).①一定不共面；②一定共面；③不一定共面；④无法判断.解析 OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面.答案②4.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为________.解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案25.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________.解析 a，b，c共面，且显然a，b不共线，∴c＝xa＋yb，∴由①②解得代入③得λ＝.答案6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为________.解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.1答案a27.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.解析由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又 a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案60°8.(2016·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是__________.解析 点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.即当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.答案二、解答题9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1) c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2) a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又 |a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.证明(1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，又CG与CA1有公共点C，即A1，G，C三点共线.(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，2因此CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示).解析OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.答案a＋b＋c12.已知{a，b，c}...
