习题课(2)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(C)A．4B．8C．16D．32解析：a2·a6＝a＝16，选C.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝(B)A.B.C.D．2解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，故a1＝＝＝.3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为(D)A．an－1B．anC．(n－1)aD．na解析：由题意得数列{an}是非零常数列，∴Sn＝na.4．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(D)A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an解析：因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an，故选D.5．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于(A)A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：由a5＝－8a2，得公比q＝－2.又a5>a2，知a5>0，∴a1>0，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝(－2)n－1.6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于(B)A．2B.C.D．3解析：因为S4，S8－S4，S12－S8也成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，又S4＝S8，∴2＝S8(S12－S8)，∴S12＝S8，即＝.故选B.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝15，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为(B)A.B.C．2D．3解析：在等差数列{an}中，由得a3＝3，a5＝2.于是b3＝3，b5＝2，所以b7＝＝.8．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于(C)A．n·2nB．(n－1)·2n－1－1C．(n－1)·2n＋1D．2n＋1解析： 等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lgan＝2n－1lg10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②∴①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝2.解析：设{an}的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.1所以a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}为递增数列，则q＝2.10．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝11.解析：记b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b5＝a13＋a14＋a15，依题意{bn}构成等比数列，其首项b1＝1，公比为q＝＝－2，则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和S15＝＝11.11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝11.解析：由{an}为等比数列可知an≠0， an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2＝0，∴q＝1(舍)或q＝－2.∴S5＝＝11.三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， a1≠0，∴2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，∴Sn＝＝.13．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.当n＝1时，符合上式．故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．(1)求a1和a2的值；(2)求数列{an}，{bn}的通项an和bn；(3)设...
