3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课时过关·能力提升1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),若⃗OM=⃗AB,则点B的坐标为()A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)解析:设点B的坐标为(x,y,z),由⃗OM=⃗AB得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1).答案:B2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则x,y的值分别是()A.9,21B.9,7C.3,21D.3,7解析:a∥b⇔13=3x=73y,故x,y的值分别是9,7.答案:B3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1解析:∵|a|¿√22+42+x2=6,∴x=4或-4.∵a·b=2×2+4×y+2×x=0,∴x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,∴x+y=1或x+y=-3.答案:A4.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-4,5,2),则l与α的关系是()A.l⊥αB.l∥αC.l⊂αD.l∥α或l⊂α解析:因为v·u=0,所以l∥α或l⊂α.答案:D★5.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在α内的是()A.(2,3,3)B.(3,-3,4)C.(-1,1,0)D.(-2,0,1)解析:设M(x,y,z)为平面内一点,则⃗AM·n=0,即2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.又A项中坐标满足上式,故选A.答案:A16.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O,⃗OP=α⃗OA+β⃗OB,则α+β=.答案:17.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析:因为⃗AB=(−1,2−y,z−3),⃗AB∥v,所以-12=2-y-1=z-33,解得y¿32,z=32.答案:32328.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是.答案:一条线段或一个钝角三角形9.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.证明:不妨设已知正方体的棱长为1,以A为坐标原点,⃗AB,⃗AD,⃗AA'的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M(1,0,12),B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N(12,12,12),B'(1,0,1),所以⃗MN=(-12,12,0),⃗A'C=(1,1,−1),⃗BB'=(0,0,1).因为⃗MN·⃗A'C=0,所以MN⊥A'C.又⃗MN·⃗BB'=0,所以MN⊥BB'.★10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解:以D为坐标原点,⃗DA,⃗DC,⃗DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.有A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E(1,12,0),F(12,1,0),设点M(1,1,m),2则⃗EF=(-12,12,0),⃗B1E=(0,-12,-1),⃗D1M=(1,1,m−1).∵D1M⊥平面EFB1,∴⃗D1M⊥⃗EF,且⃗B1E⊥⃗D1M,∴⃗D1M·⃗EF=0,⃗D1M·⃗B1E=0,∴{-12+12+(m-1)·0=0,1×0-12+1-m=0,∴m¿12.故取B1B的中点M,能满足D1M⊥平面EFB1.3
