高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学业分层测评 新人教B版选修1-2-新人教B版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

2.1.1合情推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B正确；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错.【答案】B2.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”D.“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由实数运算的知识易得C项正确.【答案】C3.用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示，图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()【导学号：37820011】A.6n－2B.8n－2C.6n＋2D.8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】C4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】D5.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是()1A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A二、填空题6.把正数排列成如图218甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图218乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2017，则n＝__________.12345678910111213141516甲12457910121416乙图218【解析】图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有个数，由44×44＝1936，45×45＝2025知an＝2017出现在第45行，第45行第一个数为1937，第＋1＝41个数为2017，所以n＝＋41＝1031.【答案】10317.二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48.已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________.【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题9.已知数列，，…，，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式.2【解】S1＝＝＝＝，S2＝＋＝＝＝，S3＝＋＝＝＝，S4＝＋＝＝＝，由此归纳猜想Sn＝.10.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d...