2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以＝3，p＝6.又因为对称轴是y轴，所以选C.答案：C2．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为()A．4B．－2C．4或－4D．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.答案：C3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A．10B．8C．6D．4解析：因AB线段过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.答案：B4．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定解析：如图，取AF中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，可得|CN|＝|AF|.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|＝________.解析：由于点P到x轴的距离为12，可知点P的纵坐标为12，∴点P的横坐标x＝＝＝9.由抛物线的定义知|PF|＝x＋＝9＋4＝13.答案：1316．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝8.设直线AB的方程为y＝x－，联立y2＝2px，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．正三角形AOB的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36，试确定抛物线的方程．解析：由于正△AOB的A、B两点在抛物线y2＝2px上，依对称性知∠AOX＝30°，其中X为线段AB与x轴的交点．设OA所在直线方程为y＝x.方法一：联立得A(6p,2p)，B(6p，－2p)．则|AB|＝4p.由S△AOB＝×(4p)2＝12p2＝36，得p2＝3，p＝.故抛物线的方程为y2＝2x.方法二：设|OA|＝a，由S△AOB＝a2＝36知a＝12.即|OA|＝＝＝12，得x＝±6，y＝×(±6)＝±6.由于A(x，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以A(6，6)．由点A(6，6)在y2＝2px上得p＝.故抛物线的方程为y2＝2x.8.已知直线l经过拋物线y2＝4x的焦点F，且与拋物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解析：拋物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.(1)设A(x0，y0)，则|AF|＝|x0＋1|＝4，∴x0＝3，∴y0＝±2，∴A(3，±2)．(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，易知k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋＞4，2综上所述，|AB|≥4，即线段AB长的最小值为4.☆☆☆9．(10分)给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，l：y＝x－1，联立，消去y得x2－6x＋1＝0，∴x0＝＝3，y0＝x0－1＝2，故圆心M(3,2)，半径＝＝4，从而以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.(2)显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，联立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，故x1＝.①又|FA|＝2|BF|，∴FA＝2BF，则x1－1＝2(1－x2)．②由①②得x2＝(x2＝1舍去)，所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．3
