（新课标）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质真题演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习第七章立体几何7.5直线、平面垂直的判定及其性质真题演练文1．(2013·浙江卷)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则()A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°解析：设P1＝fα(P)，P2＝fβ(P)．由条件中的新定义知：PP1⊥α，P1Q1⊥β，PP2⊥β，P2Q2⊥α，故PP1∥P2Q2，PP2∥P1Q1，PP1⊥P1Q2，PP2⊥P2Q1，可知点P，P1，P2，Q1，Q2五点共面，记为平面γ，可得α⊥γ，β⊥γ.当α⊥β时，PP2⊥PP1，此时四边形PP1Q2P2为矩形，PP2⊥P2Q2，故Q1与Q2重合，满足题意，故选A.答案：A2．(2011·大纲全国卷)已知直二面角α—l—β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()A．2B.C.D．1解析：由题意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝，故选C.答案：C3．(2012·安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长解析：把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；因为四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；当四面体ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；因为每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；而命题⑤显然成立．答案：②④⑤4．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.5．(2015·天津卷)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1.又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B.故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE，又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.