高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程自我小测 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.3.1双曲线及其标准方程自我小测1．双曲线－＝1的焦距是()A．4B．2C．10D．与m有关2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16B．18C．21D．263．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1＜k＜1B．k＞0C．k≤0D．k＞1或k＜－14．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x≤－3)D.－＝1(x≥3)5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为()A．1B．1或3C．1或3或－2D．36．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4.以上命题正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①②④7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.10．已知双曲线16x2－9y2＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．1参考答案1．解析：由题意可知a2＝m2＋16，b2＝9－m2，所以c2＝a2＋b2＝m2＋16＋9－m2＝25，所以c＝5，所以2c＝10.答案：C2．解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26.答案：D3．解析：因为方程－＝1表示双曲线，所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.答案：A4．解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．答案：D5．解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有＝，解得m＝1.答案：A6．解析：①若C为椭圆，则解得2＜t＜4，且t≠3.②若C为双曲线，则(4－t)(t－2)＜0，所以t＞4或t＜2.③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．④若C为焦点在y轴上的椭圆，则解得3＜t＜4.答案：C7．解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝18．解析：根据题意可知|PB|＝|PA|＋rB，所以|PB|－|PA|＝rB，即|PB|－|PA|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，且2a＝4，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，故所求的方程为－＝1(x≤－2)．答案：－＝1(x≤－2)9．解析：由椭圆、双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，①|PF1|－|PF2|＝±2，②由①2－②2得|PF1|·|PF2|＝m－s.答案：m－s10．解：因为||PF1|－|PF2||＝6，所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100.又因为|F1F2|＝2c＝10，2所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.所以∠F1PF2＝90°.11．解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为－＝1.12．解法一：椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上，即－＝1.解方程组得所以所求双曲线的方程为－＝1.解法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线与椭圆有一个交点纵坐标为4，所以它们的一个交点为A(，4)．因为||AF1|－|AF2||＝2a，所以将A，F1，F2的坐标代入得a＝2.又因为c＝3，所以b2＝c2－a2＝5.所以所求双曲线的方程为－＝1.3