考点过关检测（二十三）1．(2020届高三·唐山联考)已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的两点A，B，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k
(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．解：(1)由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0
①由Δ1＝16－32k>0，解得k0，解得k>0或k0)，其准线方程为x＝－， P(4，m)到焦点的距离等于点P到准线的距离，∴4＋＝5，∴p＝2
∴抛物线C的方程为y2＝4x
(2)把M(t,4)代入抛物线C的方程，得16＝4t，∴t＝4，∴M(4,4)．由题易知直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x＝ky＋n，联立消去x，得y2－4ky－4n＝0，Δ＝16k2＋16n>0，①设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4n
MD⊥ME，∴MD·ME＝(x1－4，y1－4)·(x2－4，y2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝·－4＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝－(y1＋y2)2＋3y1y2－4(y1＋y2)＋32＝n2－16k2－12n＋32－16k＝0，即n2－12n＋32＝16k2＋16k，得(n－6)2＝4(2k＋1)2，∴n－6＝±2(2k＋1)，得n＝4k＋8或n＝－4k＋4，当n＝4k＋8时，代入①式满足Δ>0，∴直线DE的方程为x＝ky＋4k＋8＝k(y＋4)＋8，直线过定点(8，－4)．当n＝－4k＋4时，代入①式，当k≠2时，Δ>0，此时直线DE的方程为x＝k(y－4)＋4，直线过定点(4,4)，不合题意，舍去．∴直线过定点(8，－4)．4．已知椭圆C：＋＝
