第七节抛物线A组基础题组1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为()A.(0,-2)B.(0,2)C.(0,-132)D.(0,132)答案C由8x2+y=0,得x2=-18y.所以2p=18,p=116,所以焦点为(0,-132).故选C.2.若抛物线y2=2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.(14,±❑√22)B.(14,±1)C.(12,±❑√22)D.(12,±1)答案A设抛物线的顶点为O,焦点为F,P(xP,yP),由抛物线的定义知,点P到准线的距离即点P到焦点的距离,所以|PO|=|PF|,过点P作PM⊥OF于点M(图略),则M为OF的中点,所以xP=14,代入y2=2x,得yP=±❑√22,所以P(14,±❑√22).3.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4❑√3,则该抛物线的方程是()A.y2=2❑√33xB.y2=❑√3xC.y2=2❑√3xD.y2=❑√33x答案A由题意知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4❑√3,故❑√34AB2=4❑√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2❑√3,故可以设点A的坐标为(2❑√3,2),代入抛物线方程得4=4❑√3p,解得p=❑√33,故所求的抛物线方程为y2=2❑√33x,故选A.4.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案A设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则S△BCFS△ACF=BCAC=x2x1=|BF|-1|AF|-1.故选A.5.(2018安徽合肥模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.❑√23C.23D.2❑√23答案D设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过A、B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,∴点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=12|AF|=|BF|, k>0,∴点B的坐标为(1,2❑√2),∴k=2❑√2-01-(-2)=2❑√23.故选D.6.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=.答案B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.7.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O为坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.答案y2=16x解析设满足题意的圆的圆心为M,根据题意可知圆心M在抛物线上,又因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,则|MF|=xM+p2=6,即xM=6-p2,又由题意可知xM=p4,所以p4=6-p2,解得p=8.所以抛物线的方程为y2=16x.8.(2018课标全国Ⅰ理改编,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则⃗FM·⃗FN=.答案8解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=23(x+2),即x=32y-2,由{y2=4x,x=32y-2得y2-6y+8=0.由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=32(y1+y2)-4=5,x1x2=(y1y2)216=4, F(1,0),∴⃗FM·⃗FN=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2,于是4+p2=5,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2). F(1,0),∴kFA=43. MN⊥FA,∴kMN=-34,∴FA的方程为y=43(x-1),①MN的方程为y=-34x+2,②由①②得x=85,y=45,∴N的坐标为(85,45).10.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2❑√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
