（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 3 第3讲 排列、组合与二项式定理刷好题练能力 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲排列、组合与二项式定理1．求(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差．解：由(1－)20⇒Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx.所以＝1⇒r＝2⇒x的系数为C，＝9⇒r＝18⇒x9的系数为C.所以C－C＝C－C＝0.2．若的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中的有理项．解：令x＝1，则22n＝1024，解得n＝5.Tr＋1＝C(3x)5－r＝C·35－r·x，有理项即使为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项，即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.3．已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项．解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项Tk＋1＝C()8－k＝C(－2)kx－2k，令－2k＝，则k＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.4．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC种，后排有A种，共有(CC＋CC)·A＝5400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C·A＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3360种．1(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，选出的3人全排有A种，共C·C·A＝360种．6．已知的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数．解：(1)因为前三项系数1，C，C成等差数列．所以2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.所以n＝8或n＝1(舍)．(2)由n＝8知其通项Tr＋1＝C·()8－r·＝·C·x4－r，r＝0，1，…，8.所以第三项的二项式系数为C＝28.第三项系数为·C＝7.(3)令4－r＝1，得r＝4，所以含x项的系数为·C＝.7．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．故共有C＝84种．8．(2019·南京、盐城模拟)已知m，n∈N*，定义fn(m)＝.(1)记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；(2)记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．解：(1)由题意知，fn(m)＝所以am＝所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63.(2)当n＝1时，bm＝(－1)mmf1(m)＝则b1＋b2＝－1.当n≥2时，bm＝又mC＝m·＝n·＝nC，所以b1＋b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋(－1)nC]＝0.所以b1＋b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}．1．已知(2－x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，其中a0，a1，a2…，a50是常数，计算(a0＋a2＋a4＋…＋a50)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a49)2.解：设f(x)＝(2－x)50，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a50＝(2－)50，2令x＝－1，得a...