54分专项练(四)18、19、20、211．已知正项数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝＋2(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3；(2)设数列{bn}满足bn＝(an－1)2－n2，证明：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项．2．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ccosA＋3acosC＝0，tan(2019π＋2A)＝.(1)求tanC的大小；(2)若C为钝角且c＝，求△ABC的周长的取值范围．3．如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．(1)求证：PB∥平面AEC；(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关？A材料B材料合计成功不成功合计(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82854分专项练(四)18、19、20、211．解：(1)由已知可得a2＋a1＝＋2，因为a1＝2，所以a－22＝3＋2(a2－2)，即a－2a2－3＝0，因为a2>0，所以a2＝3.又a3＋a2＝＋2，a2＝3，所以a－9＝5＋2(a3－3)，即a－2a3－8＝0，因为a3>0，所以a3＝4.故a2＝3，a3＝4.(2)证明：由已知条件可知，a－a＝2(an－an－1)＋2n－1，所以(an－1)2－(an－1－1)2＝n2－(n－1)2，则(an－1)2－n2＝(an－1－1)2－(n－1)2＝…＝(a2－1)2－22＝(a1－1)2－12＝0，而bn＝(an－1)2－n2，所以bn＝0，数列{bn}为等差数列．所以(an－1)2＝n2，而an>0，故an＝n＋1.2．解：(1)因为ccosA＋3acosC＝0，所以sinCcosA＋3sinA·cosC＝0.又cosAcosC≠0，所以tanC＝－3tanA.因为tan(2019π＋2A)＝，所以tan2A＝，所以＝，解得tanA＝或tanA＝－3.①若tanA＝，则tanC＝－3tanA＝－3×＝－；②若tanA＝－3，则tanC＝－3tanA＝－3×(－3)＝9.故tanC的值为－或9.(2)因为C为钝角，所以由(1)知tanC＝－，又因为0c＝，所以a＋b∈(，2]．所以△ABC的周长的取值范围是(2，2＋]．3.解：(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF.由平面ABCD为平行四边形，可知F为BD的中点．在△PBD中，因为E，F分别为PD，BD的中点，所以EF∥PB.又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)由题意知，AC，AB，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(2，0，0)，D(2，－3，0)，P(0，0，3)，E，所以AC＝(2，0，0)，AE＝.设M(x0，y0，z0)，PM＝λPB(0<λ<1)，则(x0，y0，z0－3)＝λ(0，3，－3)，得M(0，3λ，3－3λ)，所以AM＝(0，3λ，3－3λ)．设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得n1＝(0，1，1)．设平面MAC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由得取z2＝1，得n2＝.设二面角MACE的大小为θ，则cosθ＝＝＝，化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝或λ＝.因为二面角MACE的余弦值为，所以PM＝PB.故PM＝PB时，二面角MACE的余弦值为.4．解：(1)列联表如下：A材料B材料合计成功282048不成功21012合计303060K2的观...
