热点探究课(五)直线与圆的综合问题[命题解读]从近五年的高考试题来看，高考对该部分的考查主要以直线与圆及圆与圆的位置关系为载体，综合考查直线方程、圆的方程的求法及与直线、圆相关的最值范围问题．热点1与直线、圆有关的最值(范围)问题该类问题以直线、圆的位置关系为载体，通过定点圆心，弦心距之间的关系及圆与圆的位置关系建立不等式，并借助函数或不等式求相应问题的最值．(1)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.【导学号：62172255】(2)(2016·苏北四市模拟)设m，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的最小值是________．(1)(2)2＋2[(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)，由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是.(2)由直线与圆相切可知圆心距d＝＝1，整理可得(m－1)(n－1)＝2，利用均值不等式2＝(m－1)(n－1)≤2，可知m＋n≥2＋2.等号成立的条件为m－1＝n－1，即m＝n＝＋1.][规律方法]1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．2．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．[对点训练1]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．6[根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m，因为∠APB＝90°，连结OP，易知OP＝AB＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为OC＝＝5，所以OPmax＝OC＋r＝6，即m的最大值为6.]热点2定点问题定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程．(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．[解](1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为C(t，t2)．依题意知t－t2＋2＝0，所以t＝－1或2.1即圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0.6分(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令⇒所以圆C过定点(2,0).14分[规律方法]判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标．若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点．[对点训练2]如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长．(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动．(2)动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．图1[解](1)证明：设圆心C(x，y)，由题意，得CC1＝CC2，即＝，化简得x＋y－3＝0，即动圆圆心C在定直线x＋y－3＝0上运动.4分(2)圆C过定点．设C(m,3－m)，则动圆C的半径为＝.于是动圆C的方程为(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0，联立方程组解得或所以动圆C过定点，定点的坐标为和.14分热点3与直线、圆有关的函数建模问题(答题模板)与直线、圆有关的函数建模问题也是近几年的一个高考亮点，2014年江苏省第18题曾经考查过，主要考查学生运用直线、圆的知识及坐标法的思想解决问题．(本小题满分14分)(2017·南京盐城一模)如图2所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电...
