第5课时双曲线的简单几何性质基础达标(水平一)1.双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程为().A.y=xB.x=yC.y=±xD.x=±y【解析】令9y2-16x2=0,可得渐近线方程为y=±x.【答案】C2.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r等于().A.B.2C.3D.6【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的圆心为(3,0).由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r===.【答案】A3.对于方程-y2=1和-y2=λ(λ>0且λ≠1)所分别表示的双曲线有如下结论:①有相同的顶点;②有相同的焦点;③有相同的离心率;④有相同的渐近线.其中正确结论的序号是().A.①④B.②④C.③④D.②③【解析】对于方程-y2=1,a=2,b=1,c=;对于方程-y2=λ,a'=2,b'=,c'=·.显然a',b',c'分别是a,b,c的倍,因此有相同的离心率和渐近线.【答案】C4.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是().1【解析】由题意,方程可化为y=mx+n和+=1,B,D选项中,两椭圆中m>0,n>0,但直线中m<0,矛盾;A选项中,双曲线中n>0,m<0,但直线中m>0,矛盾;C选项中,双曲线中m>0,n<0,直线中m>0,n<0,符合.故选C.【答案】C5.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为双曲线E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则双曲线E的离心率是.【解析】假设点A在第一象限,点B在第四象限,则A,B,所以|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-(舍去),所以双曲线E的离心率为2.【答案】26.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为.【解析】由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1A∥F2B,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,再利用余弦定理得=-,化简得2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=.2【答案】7.已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F是(-2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若||=2||,求直线l的方程.【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),∵e==2,c=2,∴a=1,∴b=,∴所求的双曲线方程为x2-=1.(2)∵直线l与y轴相交于点M且过焦点F(-2,0),∴直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y=k(x+2),令x=0,得点M(0,2k).∵||=2||且M,Q,F三点共线于l,∴=2或=-2.当=2时,xQ=-,yQ=k,∴Q.又∵点Q在双曲线x2-=1上,∴-=1,∴k=±.当=-2时,同理可将点Q(-4,-2k)代入双曲线方程,得16-=1,∴k=±,故所求直线l的方程为y=±(x+2)或y=±(x+2).拓展提升(水平二)8.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若∠F1PF2=,则e等于().3A.B.C.D.3【解析】由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2c⇒|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2,从而解得|PF1||PF2|=c2(⇒|PF1|-|PF2|)2=8c2-4⇒a2=⇒=⇒e=.故选A.【答案】A9.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为().A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】∵=,∴==,∴=,∴=,=.又∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.【答案】D10.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·=.【解析】由渐近线方程为y=x知,=1,4即b=,因为点P(,y0)在双曲线上,所以y0=±1.当y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以·=0;当y0=-1时,P(,-1),·=0.【答案】011.已知双曲线C:-y2=1,P是C上的任意一点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)若点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)设P(x1,y1)是C上任意一点,由题可知,双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.所以点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,所以·==.故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)由点A的坐标(3,0),得|PA|2=(x1-3)2+=(x1-3)2+-1=+.又点P在双曲线上,所以|x1|≥2,故当x1=时,|PA|2的最小值为,即|PA|的最小值为.5
