高中数学 第三章 导数及其应用能力深化提升（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

第三章导数及其应用能力深化提升类型一导数与曲线的切线【典例1】(1)已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为()A.1B.±1C.-1D.-2(2)设抛物线C1:y1=x2-2x+2与抛物线C2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直.①求a,b之间的关系;②若a>0,b>0,求ab的最大值.【解析】(1)选A.设切点为(x0,y0),则y0=3x0+1,且y0=a+3,所以3x0+1=a+3.①对y=ax3+3求导得y′=3ax2,则3a=3,a=1.②由①②可得x0=1,所以a=1.(2)①依题意y1′=2x-2,y2′=-2x+a,设它们的公共点为P(x0,y0),因为在P点切线互相垂直.所以(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0,(i)则Δ=4[(a-2)2+4]>0.又因为y0=-2x0+2,且y0=-+ax0+b,相减得:2-(a+2)x0+2-b=0,(ii)由(i)(ii)消去x0得:2b+2a=5,即a+b=.②由①得ab≤==,当且仅当a=b=时上式取等号,所以ab的最大值为.【方法总结】根据切点求切线方程的两种情况利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:1(1)求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得.(2)求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1)①.又y1=f(x1)②;由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.类型二导数与函数的单调性【典例2】已知函数f(x)=(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若对于任意的x∈[1,+∞),f(x)≥a(x-1)恒成立,求a的范围.【解析】(1)x≥1时,f(x)=(x+1)lnx,f′(x)=1++lnx>0,f(x)在(1,+∞)上递增;00,f′(x)在(0,1)上递增,f′(x)2,存在x0∈(1,+∞),使得g′(x0)=0,当x∈[1,x0)时,g′(x)<0,g(x)递减,存在g(x)0或f′(x)<0.(4)不等式的解集与定义域取交集.(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.【巩固训练】已知函数f(x)=x3-ax-1,讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=3x2-a.①当a≤0时,f′(x)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.②当a>0时,令3x2-a=0得x=±,当x>或x<-时,f′(x)>0;当-0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.类型三利用导数求函数的极值、最值【典例3】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,所以c=0,3因为f′(x)=3ax2+b的最小值为-12.所以b=-12.又直线x-6y-7=0的斜率为.因此f′(1)=3a+b=-6,所以a=2,b=-12,c=0.(2)因为f(x)=2x3-12x,f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),列表如下:x(-∞,-)-(-,)(,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大↘极小↗所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-)和(,+∞),单调减区间是(-,).因为f(-1)=10,f()=-8,f(3)=18.所以f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18.最小值是f()=-8.【方法总结】求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a,b)内的极值.(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.特别地,①当f(x)在(a,b)上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,②当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值.【巩固训练】设