课时分层作业(十七)函数的极值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．－x0是－f(－x)的极小值点B．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)C．－x0是f(－x)的极小值点D．x0是－f(x)的极大值点A[对于A，函数－f(－x)与函数f(x)的图象关于原点对称，因此－x0是－f(－x)的极小值点；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f(x0)是否最大；对于C，函数f(－x)与函数f(x)的图象关于y轴对称，因此－x0是f(－x)的极大值点；对于D，函数f(x)与函数－f(x)的图象关于x轴对称，因此x0是－f(x)的极小值点，故D错误．]2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0，1)D．(－1，0)D[ f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1
0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.]3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示则()A．为f(x)的极大值点B．－2为f(x)的极大值点C．2为f(x)的极大值点1D．为f(x)的极小值点A[对于A选项，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜2时，f′(x)＜0，为f(x)的极大值点，A选项正确；对于B选项，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，－2为f(x)的极小值点，B选项错误；对于C选项，当＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，2为f(x)的极小值点，C选项错误；对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f′＜0，不是f(x)的极值点，D选项错误．故选A.]4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9xB[ 三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y′＝3x2＋2bx＋c.又x＝1，3是y′＝0的两个根，∴即∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]5．已知a为常数，函数f(x)＝xlnx－ax2＋x有两个极值点，则实数a的取值范围为()A．B．(0，e)C．D．A[f′(x)＝lnx＋2－2ax，函数f(x)有两个极值点，则f′(x)有两个零点，即函数y＝lnx与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝lnx求导(lnx)′＝，则有解得要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即0＜a＜.故选A.]二、填空题26．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．[ f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)无极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c≤0，∴c≥.]7．(一题两空)若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．0极大[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0，1是函数f(x)的极大值．]8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．4[求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0.①又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f(0)＝0＋c，极小值为f(2)＝－4＋c，故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4.]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在区间(－1，4)上的极值．[解](1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，所以f...
