2006年北京市高二数学多面体与球测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．给出下列命题：①有一条侧棱与与面两边垂直的棱柱是直棱柱；②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥是正棱锥；④A、B为球面上相异的两点，则通过A、B的大圆有且仅有一个。其中正确命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．在半径为5的球面上有两点A、B，若AB=6，则球心到A、B的截面的距离的最大值为（）A．3B．4C．6D．83．地球半径为R，则北纬60°纬线圈的长是（）A．RB．C．D．4．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A．8B．64C．24D．725．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V，表面积之和为S；一个直径为a的球，记其体积为V，表面积为S，则（）A．V>V且S>SB．VSD．V=V且S=S6．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3B．4C．3D．67．如图1，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A．arcsinB．arccosC．arcsinD．arccos图18．正方体的棱长为a，连接正方体相邻各面的中心构成的几何体的体积是（）A．B．C．D．9．过四面体共一个顶点的三条棱的中点可以确定一个截面，这样的截面共有四个，用这四个截面截去四个小四棱锥后剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比等于（）A．2∶3B．1∶2C．1∶3D．1∶410．已知A、B、C、D、为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于（）A．B．C．D．11．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，一蚂蚁从点A沿其表面爬到C1点的最短路程为（）A．B．2C．3D．12．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A与B和C与A之间的球面距离均为，B与C之间的球面距离为，则过A、B、C三点的截面到球心的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。）13．正二十面体棱长为a，则其各面面积之和为。14．已知正方体的棱长为a，则此正方体的各面中心为顶点的多面体为，此多面体的对角线长为。15．半径为10cm的球被两个平行平面所截，截得的截面面积分别为36，64，则这两个平面间的距离是。16．某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π，则该地球仪的表面积为。三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题12分，后1小题14分，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．求证：过球内一定点所引的弦被该点分成的两部分的积是定值。18．已知三棱锥A-BCD中，CD=4，其余各棱长都是3。求此三棱锥的体积。19．把半径为2的四个小球垒成两层放在桌面上，两两相切，求上层的最高点离桌面的距离。20．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积。21．已知三棱锥的高及底面边长都是a，求它的外接球和内切球的半径。22．某商人要从北京（北纬40°，东经120°）乘飞机去南非首都约翰内斯堡（南纬30°，东经30°）处理紧急商务，现有两条航线可供选择：甲航线，从北京沿纬度弧向西飞到希腊首都雅典（北纬40°，东经30°），然后向南飞到目的地；乙航线，从北京向南飞到澳大利亚的佩思（南纬30°，东经120°），然后沿纬度弧向西飞到目的地，若这两条航线的飞机航速均为1000km/h，中途转航需要1h。在正常情况下，求该商人选择的最短路程所需的时间（地球半径约为6370km）。参考答案一、选择题1．D2．B3．D4．A5．C6．A7．D8．C9．B10．B11．C12．C二、解答题13．514．正八面体，15．2cm或14cm16．192三、解答题17．已知：点P为球O内的一定点，AB、CD是过点P的任意两条弦，求证：AP••••PB=CP•PD。证明：设AB、CD分别所在的大圆交于MN。 O、P都是这两个大圆面的公共点，∴OMN，PMN，∴对于任意的弦AB、CD，MN确定于定直线OP上，∴MP••••PN为定值，根据圆中的相交弦定理，有AP•PB=MP•PN=CP•...
