高三三模考试数学（理科）试题答案第１页（共４页）内江市高中２０２０届第三次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ｂ２．Ｄ３．Ｄ４．Ｂ５．Ｂ６．Ｃ７．Ａ８．Ｃ９．Ｂ１０．Ａ１１．Ａ１２．Ｄ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．）１３．［５，７）１４．３１５．２１６．［１２，１）三、解答题（本大题共６个小题，共７０分．）１７．解：（１） 调查的５００位老年人中有４０＋ｍ位需要志愿者提供帮助∴４０＋ｍ＋ｎ＋２７０＝５００４０＋ｍ５００＝１４{１００３分�����������������������解之得ｍ＝３０，ｎ＝１６０６分�������������������������（２）Ｋ２的观测值ｋ＝５００×（４０×２７０－３０×１６０）２２００×３００×７０×４３０５００×４０２×３０２×２５２００×３００×７０×４３０＝３０００７×４３≈９．９６７９分���������� ９．９６７＞６．６３５∴在犯错误的概率不超过０．０１的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．１２分�������������������������������������１８．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，ａ６－ａ３＝３ｄ＝６，即ｄ＝２２分������ ａ６－１是ａ５－１与ａ８－１的等比中项，∴（ａ６－１）２＝（ａ５－１）（ａ８－１），即（ａ１＋９）２＝（ａ１＋７）（ａ１＋１３），解得ａ１＝－５４分��������������∴数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－７６分������������������（２）由（１）问可知ｂｎ＝２ｎ·ａｎ＝（２ｎ－７）·２ｎ７分��������������∴Ｓｎ＝（－５）×２＋（－３）×２２＋（－１）×２３＋１×２４＋…＋（２ｎ－７）×２ｎ２Ｓｎ＝（－５）×２２＋（－３）×２３＋（－１）×２４＋１×２５＋…＋（２ｎ－７）×２ｎ＋１９分�两式相减并化简得Ｓｎ＝１８＋（２ｎ－９）·２ｎ＋１１０分��������������� 当ｎ≤３时，ｂｎ＜０，当ｎ＞３时，ｂｎ＞０∴（Ｓｎ）ｍｉｎ＝Ｓ３＝－３０１２分�������������������������１９．解：（１）证明：ＢＢ１⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＣ平面ＡＢＣＤ，∴ＡＣ⊥ＢＢ１２分������又 ＡＣ⊥ＢＤ，且ＢＢ１∩ＢＤ＝Ｂ，∴ＡＣ⊥平面ＢＢ１Ｄ４分�����������又 ＡＣ平面ＡＣＤ１，∴面ＡＣＤ１⊥面ＢＢ１Ｄ６分���������������（２）易知ＡＢ、ＡＤ、ＡＡ１两两垂直，以Ａ为坐标原点，ＡＢ、ＡＤ、ＡＡ１所在直线分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立如图的空间直角坐标系，设ＡＢ＝ｔ，则相关各点的坐标为Ａ（０，０，０），Ｂ（ｔ，０，０），Ｂ１（ｔ，０，４），Ｃ（ｔ，１，０），Ｃ１（ｔ，１，４），Ｄ（０，４，０），Ｄ１（０，４，４）．７分�������������从而→ＡＣ＝（ｔ，１，０），→ＢＤ＝（－ｔ，４，０）． ＡＣ⊥ＢＤ，∴→ＡＣ·→ＢＤ＝－ｔ２＋４＋０＝０解之得ｔ＝２或ｔ＝－２（舍去）．８分����������������������高三三模考试数学（理科）试题答案第２页（共４页）ＡＤ→１＝（０，４，４），→ＡＣ＝（２，１，０）设ｎ→１＝（ｘ，ｙ，ｚ）是平面ＡＣＤ１的一个法向量，则ｎ→１·→ＡＣ＝０ｎ→１·ＡＤ→１＝{０，即２ｘ＋ｙ＝０４ｙ＋４ｚ＝{０令ｘ＝１，则ｎ→１＝（１，－２，２）９分������������同理可求面ＡＣＢ１的法向量为ｎ→２＝（－２，４，１）１０分����∴ｃｏｓθ＝ｎ→１·ｎ→２｜ｎ→１｜·｜ｎ→２｜＝－２－８＋２３·槡２１＝槡８２１６３１１分��又 二面角Ｂ１－ＡＣ－Ｄ１是锐二面角，∴二面角Ｂ１－ＡＣ－Ｄ１的余弦值为槡８２１６３１２分����������������２０．解：（１） ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘｘ＋ｂｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ａ－ａｌｎｘｘ２＋ｂ１分������...
