关注立体几何中的轨迹问题 专题辅导 不分版本 试题VIP免费

关注立体几何中的轨迹问题高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交叉渗透，在知识网络的交汇点设计试题。以立体图形为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起，立意新颖，综合性强，是新课程高考命题的一大趋势。解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程。例1.已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点图1简析：如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。点评：本题以空间直线与平面的位置关系为依据，研究平面解析几何的点的轨迹问题，立意新颖，构思巧妙，是深入考查学生思维能力的上乘之作。例2.在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.圆B.不完整的圆C.抛物线D.抛物线的一部分简析：因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。又，可得，即得在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。点评：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处。例3.如图2，定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点图2简析：因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。点评：本题主要考查圆、线面垂直的基本知识，利用线面垂直的条件，将空间问题转化到平面上的圆的问题。例4.如图3，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线图3简析：因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。点评：本题以立体几何知识为载体，考查了圆锥曲线的概念等基础知识，将抛物线的动态定义寓于正方体之中，体现了知识间的内在联系和整合应用。例5.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线图4简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知又作于N，则。依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B。例6.已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。由已知MN=2，AB=4，易知得。则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系。图6设，，则消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力。