函数中的等腰三角形知识精讲王宝霞近年来，将等腰三角形和函数结合在一起的中考题经常出现，成为一个热点，本文对此特别归纳如下：1、直角坐标系与等腰三角形例1在直角坐标系xOy中，已知点A、C的坐标分别为A（－2，0），C（0，），在坐标平面xOy内是否存在点M，使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30°，若存在，请写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由。图1分析：已知点A、C的坐标，即△AOC确定。又AC=4，∠AOC=30°，∠CAO=60°由AC为等腰三角形ACM的一边知AC既可以是腰，又可以是底边。①当AC为等腰三角形的腰时，可求得M坐标：，。②当AC为等腰三角形底边时，可求得M坐标为。所以，存在六个符合要求的点M：，，。2、一次函数与等腰三角形例2如图2，在直角坐标系中，一次函数的图象，与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）若以原点O为圆心的圆与直线AB切于点C，求C点坐标。（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由。图2分析：（1）略；（2）由一次函数求出交点A、B的坐标A（，0），B（0，2），所以AB=4，∠OAB=30°，∠ABO=60°。①当AB为等腰三角形的腰时，以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于P1、P2，得（，0），（，0）；以B为圆心，BA为半径画弧交x轴于P3，得P3（，0）。②当AB为等腰三角形底边时，作线段AB的垂直平分线交x轴于P4，利用∠OAB=30°，AB=4，求出AP4，由，得。所以，综上知P点坐标为3、反比例函数与等腰三角形例3一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系内，一次函数经过点（a，b）和点（）；（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A在第一象限，且同时在两个函数图象上，求点A坐标；（3）利用结果2，请问在x轴上是否存在于点P，使△AOP为等腰三角形，若存在把符合条件的P点坐标求出来，若不存在，请说明理由。图3分析：（1）；（2）（3）A（1，1），O（0，0），所以。①当OA为等腰三角形的腰时，以A为圆心，AO为半径画弧，交X轴于P1，其坐标P1（2，0）；以O为圆心，OA为半径画弧，交x轴于P2、P3，则②当OA为等腰三角形的底边时，作线段AO的垂直平分线交x轴于P4，如图3所示，∠AOP4=45°，，所以，即P4（1，0），故满足题设条件的点有四个P1（2，0），，P4（1，0）。4、二次函数与等腰三角形例4如图4，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上，（1）请写出P、M两点的坐标，并求出这条抛物线的解析式。（2）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值。（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明理由。图4分析：（1）略；（2）略；（3）由于已知点O（0，0），P（2，4），故线段OP惟一确定。本小题只需回答存在及理由，并不需求出Q点坐标。理由：作OP的中垂线一定能与抛物线相交，或以P点为圆心，以OP为半径画弧也能与抛物线相交。综上可知，函数中的等腰三角形一般都已知其中两点的坐标，所以一条边已惟一确定，接下来可以分两种情况讨论：①这条边为等腰三角形的腰时，分别以已知两点为圆心，这条边的长度为半径画弧，求出第三个点的坐标；②这条边为等腰三角形底边时，作这条边的垂直平分线，求出第三个点坐标。练习：1、已知直线和，若其交点在第四象限内。（1）求k的取值范围；（2）若k为非负整数，点A（2，0），点P在直线上，求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标。2、已知二次函数的图象的顶点坐标是A（2，－1），直线y=－x+1与该二次函数的图象交于点B（－2，3）。（1）求此二次函数的解析式；（2）过点B作BC//x轴，交二次函数的图象于点C，求线段BC的长；（3）在直线AB上找出点M，使△BCM为等腰三角形，并写出点M的坐标。答案：1、（1）；（2）（1，）或（2，－2）或2、（1）；（2）8；（3）。
