初三数学一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理和它的逆定理）人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理和它的逆定理）二.教学目标：（一）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据。（二）使学生会运用根与系数关系解题。三.教学重点和难点：重点：根与系数关系的推导。难点：根与系数关系的运用。四.教学过程设计：（一）复习根的判别式（二）新课从表格中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1·x2和a，b，c的关系：1.先从前面三个方程（二次项系数是1）观察x1＋x2，x1x2的值与一次项系数及常数项的关系。（两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项）2.再看后面三个方程（二次项系数不是1），观察x1＋x2，x1x2的值与系数的关系。（在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律）4.证明上面的结论．求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了。证明：设ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，5.如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．韦达定理：对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。韦达定理的逆定理：对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积。【典型例题】例1已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。解：答：方程的另一个根是。另解：因为2是原方程的根，所以5（2）2＋k×2－6＝0，2k＝－14，k＝－7例2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。解：例3.求一个一元二次方程，使它的两根分别是。解：例4.已知方程x2－12x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，则m＝______．解：设方程x2－12x＋m＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，所以x1＋x2＝2x2＋x2＝12所以x2＝4，x1＝8故m＝x1x2＝4×8＝32。例5.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根，一个负根，且正根的绝对值小于负根的绝对值，那么（）A.a，b同号，且a，c同号B.a，b同号，且a，c异号C.a，b异号，且a，c同号D.a，b异号，且a，c异号解：设方程两根为x1,x2．已知x1,x2一正一负，且负根绝对值大。因为x1+x2例6.已知a，b，c，d都不是零，且a，b是方程x2＋cx＋d＝0的解，c，d是方程x2＋ax＋b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为________。解：由①得a＋b＋c＝0⑤①＋③得a＋b＋c＋d＝－a－c⑥由⑤代入⑥，左边＝0＋d，右边＝b，所以d＝b，代入②得ab＝b。又b≠0，所以a＝1。把b＝d代入④，得c＝1。所以a＋b＋c＋d＝－a－c＝－1－1＝－2。例7.关于x的方程（a＋c）x2＋bx－（2c－a）＝0的两根之和为－1，两根之差为1。（1）求这个方程的两个根；（2）求a∶b∶c。（1998年广州市中考试题）解：（1）设原方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，（2）把x＝0代入原方程得2c－a＝0，∴a＝2c。把x＝－1代入原方程得b＝2a－c＝4c－c＝3c．根据题意c≠0，∴a∶b∶c＝2c∶3c∶c＝2∶3∶1。例8.当k是什么整数时，方程（k2－1）x2－6（3k－1）x＋72＝0有两个不相等的正整数根？（1998年四川省中考试题）解：要使原方程有两个不相等的实数根，必须有：k2－1≠0，即k≠±1①且Δ＝[6（3k－1）]2－4（k2－1）×72＝36k2－216k＋324＝36（k－3）2＞0，∴k≠3②要使x1，x2都是正整数，必须有0＜k+1＜12且k+1能整除12，同时0＜k-1＜6且k-1能整除6。∴k＝2，或k＝3（舍去）。∴当k＝2时，原方程有两个不相等的正整数根。例9.已知x1、x2是方程x2－（k－2）x＋（k2＋3k＋5）=0的两个实数根（其中k为实数），则的最大值是__________。解：又 △＝（k－2）2－4（k2＋3k＋5）≥0，即3k2＋16k＋16≤0，【模拟试题】1.不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2＋5x-1=0（2）9x2－6x＋1=0（3）2x2＋1=-x2.已知a、b、c是△ABC三边长，求证：b2x2＋（b2＋c2-a2）x＋c2=0无实根。3.已知是方程的一个根，求另一个根及m的值。4.已知两数和为7，积为-6，求两数。5.利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是2x2－3x＋1＝0的各根的平方。6.已知方程x2＋（2k＋1）x＋k2－2=0的两个实数根的...
