学习必备欢迎下载北外起航五年级春季班数学第三讲分解质因数教学目标：1.掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。2.灵活运用相关知识解答综合问题。知识点拨：1.质因数与分解质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12＝2×2×3，2、3都叫做12的质因数。2.我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，⋯，112=121，122=144，⋯其中1，4，9，16，⋯，121，144，⋯都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=3236=22×32144=32×241600=26×52275625=32×54×72可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。经典例题：例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。例2：长、宽均为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？分析：面积为105,105是长与宽的乘积。可把105分解质因数，再写成两个自然数相乘的形式。解：105=3×5×7=1×105=3×35=5×21=7×15答:面积为105的形状不同的长方形共有4种。例3：在1×2×3×4×5×⋯×200的末尾连续有多少个零？学习必备欢迎下载分析：2×5=10，在相乘的各个因数中，如果把它们分解质因数，产生一个2和一个5，末尾就会出现一个0，在这一串因数中，含有因数2的个数远多于含有因数5的个数。因此，只需求出乘积中有几个5的因数，就知有几个零。解：200÷5=40（个）200÷（5×5）=8（个）200÷（5×5×5）=1（个）⋯⋯7540+8+1=49（个）答：积的末尾有49个零。例4：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：∵1080×a=23×33×5×a，又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。巩固练习：基础训练题:1．有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？2．张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？3．五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数.4.有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？学习必备欢迎下载5．一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？6．老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？7.有7个人都是四月出生的，并且都属猪，某年它们的岁数的乘积是17597125，这一年他们的岁数之和是多少？8.一个非零整数a与7920的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少？拓展提高题:1.写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120，这若干个自然数分别是多少？2.在1×2×3×4×5×⋯×100的末尾连续有多少个零？3.要是25×26×27×28×29×30×□积的末五位都是0，□里填入的自然数最小是多少？学习必备欢迎下载4.把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。5.小兰家的电话号码是七位数，它恰好是几位连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，小兰家的电话号码是多少？
