利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题VIP专享VIP免费

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变(即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样)；性质2变换后保持同素性和接合性(即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切)；性质3变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。例1(2008年全国卷II第22题)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点⑴若ED=6DF，求k的值；⑵求四边形AEBF面积的最大值。分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A'、B'、D'、E'、F'，线段E'F'恰为圆的直径，根据性质1，D'分线段E'F'的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D'点的坐标，再反求出D(1)根据性质1VED=6陥.・・E'D'=12D'F'=27VE'D'・・•・A'D'=47D'B'=4*2・4—■或3••A'D'=D'B'A'D'=D'B'4由定比分点公式可得：D'(43)或D'(34)7'7点坐标，从而很容易求出k值；利用性质3,可以求得四边形AEBF与四边形A'E'B'F'的面积关系，由于四边形A'E'B'F'面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的最大值。解：依题设得椭圆的方程为X2+y2—i4作仿射变换，令x'=x，y'=y，则得仿射坐标系x'O'y'，在此坐标系2中,上述椭圆变换为圆x'2+y'2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A'、B'、D'、E'、F'，且E'F'为圆的直径，E'F'=2，A'(1,0)，B'(0,1)7‘7・・・D点坐标为(83)或(64)・・・k=3或k=27'77'783⑵设四边形AEBF的面积为S，四边形A'E'B'F'的面积为S'，E'F'与A'B'的夹角为°，则S—EFA'B'.sine=Qsine02(当0=匹时取“二”号,22此时F'(豆叵))2'2由于椭圆的面积为nab=2n，圆的面积为nr2=n根据性质3有A=S，故S=2S'2冗冗・・・SW2込当且仅当F坐标为(空2乜)，即k=1时取“二”号2'22说明：由上述证明过程可知，当D'为A'B'中点是时四边形A'E'B'F'的面积取到最大值，根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0小2）且斜率为k的直线I与椭圆X2+y2—1有两个不同7•D'D'B'・・2的交点P和Q⑴求k的取值范围；⑵设椭圆与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B,是否存常数k,使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆．心．到．直．••••线．的．距．离．与．半．径．的．关．系．来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第⑵问当中，若OP+OQ=OM，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换为O'M'，PQ变换为P'Q'，根据性质1，O'M'与PQ也互相平分，又由于O'M'过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理判断出O'M'与P'Q'垂直，••••这将有助于问题的简化。解：（1）作仿射变换，令X'二』，y'=y，则得仿射坐标系x'O'y'，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2+y'2=1，直线I：y二kx+运变换为直线I'：y=2kx'+b，即、2kx'-y'+込=0根据性质2可知：直线I'与圆x'2+y'2=1的交点有两个・•・]v2lV1・・・k2〉1・・・k>豆或k<_叵1+2k2222⑵经过⑴中的仿射变换，点A、B分别变换为点A'(1,0)、B'(0.1),点P、Q分别变换为点P'、Q',根据性质2可知P'、Q'必在圆上，且直线A'B'的斜率为々=-1，直线P'Q'的斜率即直线I'的斜率为迓k根据性质2，若有op+OQ与AB共线，则必有°，P'+OQ与雨共线设O'P'+O'Q'=O'M'，根据垂径定理，必有O'M'丄P'Q'当O'M'〃A'B'时，P'Q'丄A'B'，由此可得vTk=-—=1，k=空k21由⑴可知：k＞乜或k，所以没有符合题意的常数k.22说明：此题...