1课程编号：21-081200-108-07北京理工大学2013-2014学年第一学期研究生《人工智能》期末试题班级学号姓名成绩1.学习（30分+5分）下图给出了两类数据，分别如图中和所示。另外，图中两条黑色粗实线分别代表横、纵坐标轴，其交点为原点。第1题图现要求对上述数据进行分类。(1)[10分]如果采用DecisionTree实现分类，请说明该DecisionTree的非叶节点、叶节点和边分别是什么，并计算以下两个值：(a)该数据集的Entropy;(b)当根节点选择根据x的值是否大于0来进行决策时，所对应的InformationGain。解：1）非叶节点为x与y，叶节点为类别，边为x与y的取值区间；2）两类样本分别为6个和9个，因此：69151522Entropy()logl6969(0.74)0.972151og(1.325)1515S3）254478728222Entropy(0)(loglo72584g)(log4157715log)88x((1.81)(0.49))72584((415771581)(1))0948.GainS,EntropySEntropy0.9720.940.032xx2(2)[10分]如果采用Na?veBayesianClassifier实现分类，并将x，y的取值分别离散化为“大于0”和“小于等于0”两种情况，请给出需要学习的数值及其结果，进而判断当0,0yx时的分类结果解：已知样本a={a1,a2}，其中a1为属性x的值,a2为属性y的值。类别集合C={黑框，白球}若给出某一测试用例m，则需计算P(黑框|m)与P(白球|m)，并据此来进行判别，但若要计算这两个概率值，则需要计算各个类条件概率，下面为具体的学习过程。Step1.根据给出的训练集，统计各类别以及各类别下各个特征属性的条件概率估计：xy0/1Step2.由于各个属性间是独立的，则根据贝叶斯定理有如下推导：xy0/1则可推导出样本的类别。对于样本m={x>0,y<=0}判别其类别的过程如下：xy0/1因此，当x>0,y<=0则将其判别为白球类别。(3)[10分]如果采用NeuralNetwork实现分类，请画出能对上述数据进行分类的网络结构（不含权值），并说明如何根据上述数据学习得到该网络中的权值。解：采用多层感知器。该神经网络的输入神经元个数为2，分别表示x与y的值，输出神经元个数为1，1表示类别为黑框，0表示白球。隐含层神经元个数为4。则其结构如下：3xy0/1可利用BP学习算法来进行学习（最小二乘法、权值计算使用梯度下降等）。(4)（附加题）[5分]能否使用Clustering技术解决上述分类问题？如能，应怎样解决？解：可以采用聚类技术求解。用k-means算法将以上数据聚成两类，获得相应聚类中心。分类时，根据数据到聚类中心的距离来进行判定。可以用聚类算法。但由于数据是凹型数据，因此，直接用k-means算法无法得到满意，因此，可考试将此数据集映射到高维空间，使其变成凸型数据之后再对其使用类似于k-means的算法进行聚类。另外一种方法则是采用可以处理凹型数据的聚类算法，譬如PCCA（PerronClusterClusterAnalysis）方法。2.搜索（30分+5分）给定函数：22212111,xxxxf。要求计算该函数的最小值，其中21,xx的取值范围为]5,5[。(1)[10分]如果采用GradientDescent方法求解，请描述其中一次迭代过程。解：梯度下降法的基本思想为：假设我们要求函数的最小值，首先需要选取一个初始点，然后下一点的产生是沿着梯度直线方向，这里是沿着梯度的反方向（因为是求最小值）。梯度下降法的迭代公式为：1kkkkaas,其中，ks表示的是梯度的反方向，k表示的是在梯度方向上的搜索步长。梯度可以通过对函数求导取得，步长的确定比较麻烦，太大容易发散，太小收敛速度太慢。因此步长的选择需要沉思熟虑。另外，算法迭代的停止条件是梯度向量的幅值接近0即可。根据以上思想，对以下函数进行最小值求解。22(1,2)(11)(21)fxxxx，其中1[5,5]x以及2[5,5]x4由于此问题是存在约束条件下的最小值问题，在此条件下无法直接利用梯度下降法对其进行优化，需要将其进行转化，转化无约束条件下进行求解。因此有两种方法解决，一是采用拉格朗日定理对其转化，另一种是加入一个惩罚项，对超出约束条件的点进行惩罚。这里可采用加入惩罚项来解决。因此，将上述函数转化为以下函数表示：2[5,5]1[5,001000005]1[5,5]2[50010000000,5](1,2)(1,2)(1,2)(1,2)xxxxTxxfxxgxxgxx其中(1,2)gxx为处罚项。若x1与x2均在此约束范围内惩罚项的值为0，对函数值没有影响。下面是具体的一次迭代过程：首先...
