高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章点、直线、平面的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及性质一、直线与平面垂直的判定及性质（A）1．如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为()A．75°B．60°C．45°D．30°[答案]C2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105[答案]D3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.[答案]④5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，045ADC，1ADAC，O为AC中点，PO平面ABCD，2PO，M为PD中点．（1）证明：PB//平面ACM；（2）证明：AD平面PAC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB//平面ACM。（Ⅱ）证明：因为45ADC，且AD=AC=1，所以90DAC，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以,POADACPOO而，所以AD平面PAC。（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且11,2MNPOPO由平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在RtDAO中，11,2ADAO，所以52DO，从而1524ANDO，145,tan554MNRtANMMANAN中，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为4556．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（I）求证：CE⊥平面PAD；DCABPMO（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以.PACE因为,//,.ABADCEABCEAD所以又,PAADA所以CE平面PAD。（II）由（I）可知CEAD，在RtECD中，DE=CDcos451,sin451,CECD又因为1,//ABCEABCE，所以四边形ABCE为矩形，所以1151211.222ECDADCEABCDSSSABAECEDE矩形四边形又PA平面ABCD，PA=1，所以11551.3326PABCDABCDVSPA四边形四边形二、平面与平面垂直的判定及性质：（B）1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．无法确定[答案]B2．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C.2D.3[答案]C3．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°[答案]D4．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－PA－D的度数为________；(3)二面角B－PA－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为________．[答案]90°；90°；45°；120°5．如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．【答案】证明：（1）∵111ABCABC是直三棱柱，∴1CC平面ABC。又∵AD平面ABC，∴1CCAD。又∵1ADDECCDE，，平面111BCCBCCDEE，，∴AD平面11BCCB。又∵AD平面ADE，∴平面ADE平面11BCCB。（2）∵1111ABAC，F为11BC的中点，∴111AFBC。又∵1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，∴11CCAF。又∵111CCBC，平面11BCCB，1111CCBCC，∴1AF平面111ABC。由（1）知，AD平面11BCCB，∴1AF∥AD。又∵AD平面1,ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE6．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD平面平面ABD．BDC.ABD平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,从而1111,22DAMDBCDCASSS1322sin6022ABCS表面积：13333.222S
