空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为______．【答案】π3或2π3【解析】解：设平面α的法向量为m⃗=（1，0，-1），平面β的法向量为n⃗=（0，-1，1），则cos＜m⃗，n⃗＞=1×0+0×(−1)+(−1)×1√2⋅√2=-12，∴＜m⃗，n⃗＞=2π3． 平面α与平面β所成的角与＜m⃗，n⃗＞相等或互补，∴α与β所成的角为π3或2π3．故答案为：π3或2π3．利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量u⃗可以是______（写出一个即可）【答案】（0，1，-1）【解析】解：AB⃗=（2，1，1），AC⃗=（3，-1，-1），设平面α的法向量u⃗=（x，y，z），则{u⃗⋅AB⃗=2x+y+z=0u⃗⋅AC⃗=3x−y−z=0，令z=-1，y=1，x=0．∴u⃗=（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量u⃗=（x，y，z），则{u⃗⋅AB⃗=2x+y+z=0u⃗⋅AC⃗=3x−y−z=0，解出即可．本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．3.已知AB⃗=（1，0，2），AC⃗=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．【答案】（-2，3，1）【解析】解：AB⃗=（1，0，2），AC⃗=（2，1，1），设平面ABC的法向量为n⃗=（x，y，z），则{n⃗⋅AB⃗=0n⃗⋅AC⃗=0，即{x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，则z=1，y=3．高中数学试卷第1页，共1页∴n⃗=（-2，3，1）．故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC的法向量为n⃗=（x，y，z），则{n⃗⋅AB⃗=0n⃗⋅AC⃗=0，解出即可．本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量n⃗与平面ABC垂直，且|n⃗|=√21，则n⃗的坐标为______．【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC的法向量为m⃗=（x，y，z），则m⃗⋅AB⃗=0，且m⃗•AC⃗=0， AB⃗=（-1，-1，2），AC⃗=（1，0，2），∴{−x−y+2z=0x+2z=0，即{x=−2zy=4z，令z=1，则x=-2，y=4，即m⃗=（-2，4，1），若向量n⃗与平面ABC垂直，∴向量n⃗∥m⃗，设n⃗=λm⃗=（-2λ，4λ，λ）， |n⃗|=√21，∴√21•|λ|=√21，即|λ|=1，解得λ=±1，∴n⃗的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=13PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．高中数学试卷第2页，共2页【答案】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又 AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2） PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，√3），B（0，√3，0），C（-2，√3，0）∴QM⃗=23QP⃗+13QC⃗=（-23，√33，2√33），设n1⃗是平面MBQ的一个法向量，则n1⃗⋅QM⃗=0，n1⃗⋅QB⃗=0，∴{√3y=0−23x+√33y+2√33z=0，∴n1⃗=(√3，0，1)，又 n2⃗=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，∴cos＜n1⃗，n2⃗＞=12，∴二面角M-BQ-C的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，...
