选修4-1第二节1.(2014·广东六校联考)如图，PC切圆O于点C，割线PAB垂直平分弦CD于点E，已知圆O的半径为3，PA＝2，则PC＝________.解析：4 AB垂直平分弦CD，∴AB是圆O的直径．由切割线定理可得PC2＝PA·PB＝PA·(PA＋AB)＝2×(2＋6)＝16，∴PC＝4.2.(2013·北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.解析：4设PD＝9k，则DB＝16k(k>0)．由切割线定理可得，PA2＝PD·PB，即32＝9k·25k，可得k＝.∴PD＝，PB＝5.在Rt△APB中，AB＝＝4.3.如图所示，AB是半径等于3的⊙O的直径，CD是⊙O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA＝4，PC＝5则∠CBD＝________.解析：30°连接AC，DO，OC，则∠PCA＝∠PBD，又∠P＝∠P，∴△PAC∽△PDB.∴＝.∴PD＝8，CD＝3.又OC＝OD＝3，∴△OCD为等边三角形．∴∠COD＝60°.∴∠CBD＝∠COD＝30°.4．(2014·广东六校联考)如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC·AD＋BC·BE的值等于________．解析：36AD＝AB·cos∠DAB，BE＝AB·cos∠EBA，所以AC·AD＋BC·BE＝AC·AB·cos∠DAB＋BC·AB·cos∠EBA＝AB·(AC·cos∠DAB＋BC·cos∠EBA)＝AB2＝36.5.如图，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC＝6，则弦AD的长度为________．解析：2连接OP，OC，则OP⊥AD.设BC与OD相交于E.OE＝＝＝4，DE＝OD－OE＝1，在Rt△OPD中，DP2＝DE·DO＝5，DP＝，所以AD＝2DP＝2.6．(2014·揭阳模拟)如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB＝2，CE＝4，则AD的长为________．解析：设r为⊙O的半径，由CE2＝CA·CB，解得r＝3.连接OE，又 Rt△COE∽Rt△CAD，由＝，解得AD＝.7.(2013·重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析：5在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝10.由弦切角定理得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可得CD＝5，BD＝15.又由切割线定理得CD2＝DE·DB，所以DE＝＝＝5.8.(2014·茂名模拟)如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝________.解析：3连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以OC⊥PC.又因为∠CPA＝30°，OC＝AB＝3cm.在Rt△OPC中，PC＝＝＝3.9．(2014·西安检测)如图∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.以BD为直径的圆与BC交于点E.下面的结论正确的是________．①CE·CB＝AD·BD；②CE·CB＝AD·AB；③AD·AB＝CD2.解析：①由切割线定理得CD2＝CE·CB，又由直角三角形中射影定理得CD2＝AD·BD，故CE·CB＝AD·BD，故①正确，②不正确．③中，由射影定理知CD2＝AD·DB，故不正确．综上只有①正确．10.(2013·天津高考)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析： AE为圆的切线，EBD为割线．AE2＝EB·ED.又AE＝6，BD＝5，∴EB＝4. ∠EAB为弦切角，且AB＝AC，∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC，∴四边形EBCA为平行四边形．∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，∴＝＝.∴BF＝CF。又CF＋BF＝CF＝BC＝6，∴CF＝.11.(2014·南通调研)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：(1)AB·AC＝AE·AD；(2)∠FAE＝∠FAD.证明：(1)连接BE，则∠E＝∠C，又∠ABE＝∠ADC＝90°，∴△ABE∽△ADC，∴＝.∴AB·AC＝AE·AD.(2)连接OF， F是的中点，∴∠BAF＝∠CAF.由(1)，得∠BAE＝∠CAD，∴∠FAE＝∠FAD.12．(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.求证：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，所以△...
