第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，由此计算出A、B两点的距离为________m.答案：50解析： ∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案：50解析：连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50(m)．3.在△ABC中，已知∠A＝60°，b＝2，S△ABC＝2，则＝________．答案：4解析：由S△ABC＝bcsinA＝2，∠A＝60°，b＝2，得c＝4，从而a＝＝＝2.由＝＝，得＝＝＝4.4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是________海里．答案：10解析：如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．5.在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是________________．答案：等边三角形解析：由正弦定理得＝＝，又＝＝，所以＝＝，即tanA＝tanB＝tanC，所以∠A＝∠B＝∠C，故△ABC为等边三角形．6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________m.答案：10解析：在△BCD中，CD＝10(m)，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10(m)．在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10(m)．7.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．答案：15解析：不妨设∠A＝120°，cB>C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝________．答案：6∶5∶4解析：由A>B>C，得a>b>c.设a＝c＋2，b＝c＋1，则由3b＝20acosA，得3(c＋1)＝20(c＋2)·，即3(c＋1)2c＝10(c＋1)(c＋2)(c－3)，解得c＝4，所以a＝6，b＝5.sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.9.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．即该救援船到达D点需要1小时．10.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的角平分线．(1)求证：DC＝2BD；(2)求AB·DC的值．(1)证明：在△ABD中，由正弦定理得＝①，在△ACD中，由正弦定理得＝②，又AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，sin∠BAD＝sin∠CAD，sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，由①②得＝＝，所以DC＝2BD.(2)解：因为DC＝2BD，所以DC＝BC.在△ABC中，因为cosB＝＝＝，所以AB·DC＝AB·＝|AB|·|BC|cos(π－B)＝×3×7×＝－.11.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5m长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9m长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB...
