（江苏专版）高考数学一轮复习 板块命题点专练（六）简单的三角恒等变换及解三角形 文（含解析）苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

板块命题点专练(六)简单的三角恒等变换及解三角形命题点一简单的三角恒等变换1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________.解析：tan＝tan＝＝，解得tanα＝.答案：2．(2015·江苏高考)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.答案：33．(2017·江苏高考)若tan＝，则tanα＝________.解析：tanα＝tan＝＝＝.答案：4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析： sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，∴sin(α＋β)＝－.答案：－5．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sinα＝，则cos2α＝________.解析： sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.答案：6．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)求cos的值．解：(1)因为cosB＝，0＜B＜π，所以sinB＝＝＝.由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cosBcos＋sinBsin.又cosB＝，sinB＝，故cosA＝－×＋×＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝.因此，cos＝cosAcos＋sinAsin＝－×＋×＝.7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.命题点二解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：如图， S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴ac·sin120°＝c×1×sin60°＋a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a时取等号．故4a＋c的最小值为9.答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝__________，c＝________.解析：由正弦定理＝，得sinB＝·sinA＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：33．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析： bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝.由余弦定理得cosA＝＝＝＞0，∴cosA＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案：4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解：(1)在△ABC中，因为cosB＝－，所以sinB＝＝.由正弦定理得sinA＝＝.由题设知＜∠B＜π，所以0＜∠A＜.所以∠A＝.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，所以AC边上的高为asinC＝7×＝.5．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.6．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB.又因为bsinA＝acos，所以asinB＝acos，即sinB＝cosB＋sinB，所以tanB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.由bsinA＝acos，可得sinA＝.因为a＜c，所以cosA＝.所以sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝....