第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则()A．x＋y＋z的最大值是3B．x＋y＋z的最大值是3C．x＋y＋z的最小值是3D．x＋y＋z的最小值是3解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥3＝3，当且仅当x＝y＝z＝时，x＋y＋z取得最小值3.答案：D2．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6)B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)解析：因为x，y，z为正数，所以xyz≤＝23.所以lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．答案：B3．若a＞b＞0，则a＋的最小值为()A．0B．1C．2D．3解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋的最小值为3.答案：D4．函数y＝x2(1－5x)的最大值是()A．4B.C.D.解析：由00，y＝x2(1－5x)＝·x·x·≤·＝.答案：C5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.1当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C二、填空题6．正项等比数列{an}中，a2＝9，则a1＋a2＋a3的最小值为________．解析：a1＋a2＋a3≥3＝3＝3a2＝27，当且仅当a1＝a2＝a3时取等号．答案：277．若a，b，c，d为正数，则＋＋＋的最小值为________．解析：由基本不等式的推广可得，＋＋＋≥4＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．答案：48．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为_______，最小值为______．解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，所以y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±时取等号．所以ymax＝，ymin＝－.答案：－三、解答题9．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝时取等号．所以ymax＝.10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－.所以≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．B级能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．答案：B2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为______．解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．2答案：83.如图，在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r＝，所以E＝k·，所以E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝，所以h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．所以当灯的高度h为m时，才能使桌子边缘处最亮．3
